PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KE-2

Kasus I: Dua Akar Real yang Berbeda

Selesaikan masalah nilai awal berikut:

Penyelesaian:

Tahap pertama: (mencari solusi umum)

Persamaan karakteristiknya adalah , dan akar-akarnya :

Jadi solusi umumnya adalah

Tahap kedua: (mencari solusi masalah nilai awal)

Turunan pertama dari  adalah

Dengan memasukan syarat awalnya, diperoleh:

, sehingga di dapat

Jadi, solusi khusus masalah nilai awal ini adalah

Kasus II: Akar Kembar

Contoh:

Tinjau PD: .

Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya adalah

Akar-akar karakteristiknya adalah  sehinggga basisnya adalah

Jadi solusi umumnya adalah

Kasus III: Akar-akar kompleks

Untuk persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstanta (3.12) , Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah :

𝝀₁ =   dan 𝝀₂ =  ,

yang mempunyai akar kompleks. Karena  , maka

 = 𝓲𝝎,

Dengan 𝓲 =  dan 𝝎=  , sehingga

𝝀₁ =  dan 𝝀₂ =

pada pembahasan sebelumnya, diketahui bahwa ℯ^𝝀₁^𝒙 dan ℯ^𝝀₂^𝒙 adalah solusi kompleks dari persamaan (3.12), sehingga basis solusi real dari persamaan (3.12) pada suatu interval adalah :

 

Karena  tan 𝝎𝒙 ≠ 0 maka  dan  tidak proporsional. Jadi solusi umumnya adalah

cos 𝝎𝒙 +B sin 𝝎𝒙)

Masalah Nilai batas

Selesaikan MNB

                                                    (1)

                                                            (2)

Penyelesaian:

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial (1) berbentuk

Sekarang,

dan

Jadi,  sedang  tetap sembarang. Dalam hal ini, MNB (1)- (2) mempunyai tak berhingga banyaknya penyelesaian:

                         

Fungsi Eksponensial Kompleks

Contoh:

Cari z yang memnuhi

Penyelesaian:

Diperoleh

 dan

Masukkan  ke persamaan

Masukakkan nilai  dan  ke persamaan , sehingga:

⇒  

⇒ 

Soal latihan 3.2.2 halaman 38

1.      

Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya adalah

Akar-akarnya

Jadi, solusi umumnya adalah

2.       y”+6 y’ +9y=0

 Penyelesaian:

persamaan karakteristiknya adalah

Karena

Solusi umumnya y(x)=

4. ,

Penyelesaian:

Jadi solusi Khususnya adalah -2 cos 3x – sin 3x =2cos 3x + sin 3

5. Selesaikan masalah nilai awal berikut:

Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya adalah

Karena  maka kedua akarnya kembar

, sehingga solusi umumnya adalah

Dengan memasukan nilai awalnya diperoleh:

           =

Jadi, solusi khusunya adalah

6.

Penyelesaian:

Karena maka akarnya merupakan akar kompleks

     =

Basisnya adalah

Sehingga solusi umumnya

De   ngan memasukan syarat awalnya diperoleh:

Didapat

Jadi, solusi khusus masalah nilai awal ini adalah

7. Selesaikan masalah nilai awal berikut:

           

    Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya adalah

 Karena

Akar-akarnya : (kasus III)

Basisnya adalah:

Jadi solusi umumnya adalah

Turunan pertama dari solusi umumnya adalah:

Dengan memasukkan syarat awalnya diperoleh:

Jadi solusi masalah nilai awalnya adalah:

8. Selesaikan masalah nilai batas berikut:

           

Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya adalah

 Karena

Akar-akarnya : (kasus I)

Basisnya adalah:

Jadi solusi umumnya adalah

Dengan memasukkan syarat awalnya diperoleh:

Jadi solusi masalah nilai batasnya adalah:

9.  

Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya adalah  maka diperoleh  . Sehingga solusi umumnya adalah:

 ............................(i)

 .............................................(ii)

Substitusikan persamaan (i) ke persamaan (ii) sehingga diperoleh nilai  lalu substitusikan nilai  ke persamaan (i) sehingga diperoleh nilai .

Jadi penyelesaian khususnya adalah:

10.

Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya

Akar kompleks

y(x) = A cos X dan B sin X           

Solusi umumnya adalah y(0) = A cos 0 + B sin 0= -3

A=-3

B= 0

Solusi khususnya adalah = -3 cos x