MATEMATIKA EROPA

The Dark Ages
The peroiod dimulai dengan jatuhnya Kekaisaran Romawi pada pertengahan abad kelima dan memperluas ke abad kesebelas dikenal sebagai Abad Kegelapan Eropa, untuk selama periode peradaban di Eropa Barat mencapai surut sangat rendah. Sekolah menjadi hampir tidak ada, Yunani belajar tetapi semua hilang, dan banyak seni dan kerajinan diwariskan oleh dunia kuno dilupakan. Hanya para biksu dari biara katolik, dan beberapa orang awam berbudaya, diawetkan benang ramping pembelajaran Yunani dan Latin. Periode ini ditandai dengan kekerasan fisik banyak dan keyakinan keagamaan yang intens. Tatanan sosial lama memberi jalan dan masyarakat menjadi feodal dan gerejawi.
romawi itu tidak pernah dibawa ke matematika abstrak, tapi puas diri dengan aspek praktis hanya dari subjek yang berhubungan dengan perdagangan dan teknik sipil. Dengan jatuhnya kekaisaran roman dan penutupan berikutnya down sebagian besar perdagangan timur-barat dan meninggalkan proyek rekayasa negara, bahkan kepentingan-kepentingan ini menyusut, dan tidaklah berlebihan untuk mengatakan bahwa sangat sedikit dalam matematika, di luar pengembangan kalender christian, telah dicapai di barat selama seluruh setengah milenium tercakup dalam zaman kegelapan.
Dari orang bermurah hati dikreditkan dengan memainkan peran dalam sejarah matematika selama Abad Kegelapan, kita bisa menyebut warga negara romawi Boethius martir, yang acclesiastical british ulama dan Alcuin Bede, dan sarjana Terkenal Perancis dan anggota gereja Gerbert, yang menjadi Paus Silvester II .
Pentingnya Boethius (ca.475-524) dalam kisah istirahat matematika pada kenyataan bahwa tulisan-tulisan tentang geometri dan aritmatika tetap teks standar di sekolah biara selama berabad-abad. Ini bekerja sangat sedikit datang dianggap sebagai puncak prestasi matematika, dan dengan demikian juga menggambarkan kemiskinan subjek di Kristen Eropa selama Zaman Kegelapan. Untuk geometri terdiri dari apa-apa kecuali pernyataan proposisi buku I dan buku propositons beberapa dipilih III dan buku IV dari Euclid's Elements, bersama Withe beberapa aplikasi untuk pengukuran dasar dan Aritmatika didirikan dari membosankan dan setengah mistis, tetapi sekali sangat terkenal, karya Nicomachus dari empat abad sebelumnya. Hal ini berpendapat oleh beberapa bagian yang, setidaknya, dari geomrtry tersebut bersifat palsu. Dengan karya-karya, dan tulisan-tulisannya filsafat, Boethius menjadi pendiri skolastik abad pertengahan. cita-cita tinggi dan integritas yang tidak fleksibel-Nya memimpin dia ke s masalah politik dan ia menderita eruel akhir, dimana Gereja leclared dia martir.

Bede (ca 673-735), kemudian yang memenuhi syarat sebagai Bede yang terhormat lahir di Northumberlands, Inggris, dan menjadi salah satu yang terbesar dari Scolars Gereja abad pertengahan. menulis banyak nya mencakup beberapa pada mata pelajaran matematika, kepala yang teratises tentang kalender dan hisab jari. Alcuin (753-804), lahir di Yorkshire, adalah sarjana bahasa Inggris lain. ia dipanggil ke Perancis untuk membantu Charlemagnein proyek ambisius pendidikan nya. Alcuin menulis pada sejumlah topik matematika dan ragu-ragu dikreditkan dengan koleksi masalah teka-teki yang mempengaruhi penulis buku pelajaran untuk Berabad-abad banyak.

Gerbert (ca 950-1003) lahir di Auvergne, Perancis, dan awal showd kemampuan musual. dia adalah salah satu orang Kristen pertama untuk belajar di sekolah-sekolah Muslim Spanyol dan ada bukti bahwa ia mungkin telah membawa kembali angka Hindu-Arab, tanpa nol, bagi orang Kristen Eropa. ia dikatakan telah dibangun bola Abaci, daratan dan langit, jam, dan mungkin organ. accoplishments seperti menguatkan kecurigaan dari beberapa orang sezamannya bahwa ia telah perdagangan jiwanya kepada setan. Namun demikian ia terus naik di Gereja dan akhirnya terpilih menjadi Paus di 999. ia dianggap sebagai sarjana yang mendalam dan menulis di astrologi, geometri dan aritmatika.


Periode Transmisi
Tentang waktu Gerbert klasik Yunani dalam sains dan matematika mulai untuk menyaring ke Eropa. ada mengikuti periode transmisi selama yang kuno belajar diawetkan dengan budaya Islam adalah passedon ke Eropa barat. ini terjadi terjemahan Latin yang dibuat oleh para ahli Kristen melakukan perjalanan ke pusat-pusat Muslim learnin, melalui hubungan antara kerajaan Norman dari Sisilia dan timur, dan melalui hubungan komersial Eropa Barat dengan levant dan dunia arab.

hilangnya Moor Toledo oleh orang Kristen pada tahun 1085 diikuti oleh masuknya sarjana Kristen ke kota itu untuk acxquire belajar Islam. pusat Moor lainnya di Spanyol adalah menyusup dan menjadi abad kedua belas, dalam sejarah matematika, satu abad penerjemah. salah satu ulama Kristen awal untuk terlibat dalam pengejaran ini adalah bahasa inggris biksu Adelard of Bath (ca 1120), yang studi di Spanyol dan melakukan perjalanan secara ekstensif melalui Yunani, Syria dan Mesir. Adelard di dikreditkan dengan terjemahan Latin dari Euclid's Elements dan tabel astronomi Al-Khowarizmi's. ada mendebarkan sindiran terhadap risiko fisik yang dijalankan oleh Adelard dalam akuisisi tentang pembelajaran bahasa Arab, untuk memperoleh pengetahuan yang dijaga ketat, ia menyamar sebagai mahasiswa Islam. penerjemah lain awal italian itu, Plato of Tivoli (ca 1120), yang menerjemahkan astronomi Al-Battani, yang Spherics Theodosius, dan karya lainnya. penerjemah paling getol periode itu Gherardo dari Cremona (1114-1187), yang diterjemahkan ke dalam bahasa Latin lebih dari 90 karya Arab, antara yang Ptolemeus Almagest, Euclid's Elements, dan aljabar Al-Khowarizmi's. kita sudah, pada bagian 7-9, disebutkan peranan yang dimainkan oleh Gherardo dari Cremona dalam pengembangan sinus kata kita. penerjemah mencatat lain dari abad kedua belas adalah John dari Seville dan Robert dari Chester.

sejarah lokasi dan politik Sisilia dibuat bahwa sebuah pulau tempat pertemuan alami dari timur dan barat. Sicilystarted sebagai koloni Yunani, menjadi bagian dari Kekaisaran Romawi, terkait dirinya dengan Konstantinopel dan Bagdad. manuskrip Yunani dan Arab banyak dalam sains dan matematika diperoleh dan diterjemahkan ke latin. pekerjaan ini sangat didorong oleh dua penguasa dan pelindung ilmu pengetahuan, Frederick II (1194-1250) dan putranya Manfred (ca 1231-1266).

Di antara kota pertama untuk membangun hubungan niaga dengan dunia Arab adalah pusat komersial Italia di Genoa, Pisa, Venice, Milan dan Florence. pedagang italian datang di kontak dengan banyak peradaban timur, mengambil informasi aritmatika dan bersifat aljabar berguna. pedagang ini memainkan peran importand dalam penyebaran sistem angka Hindu-Arab.

Fibonacci dan The Thirteenth Century

di ambang abad ketiga belas muncul Leonardo Fibonacci, mungkin ahli matematika paling berbakat dari abad pertengahan. juga dikenal sebagai Leonardo dari Pisa (atau Leonardo Pisano). fibonacci lahir sekitar 1175 di pusat komersial Pisa, di mana ayahnya dihubungkan dengan bisiness merchantile. pendudukan ayah membangunkan awal di anak minat dalam aritmatika, dan perjalanan diperpanjang selanjutnya ke Mesir, Sisilia, Yunani, dan Suriah membawa dia dalam berhubungan dengan praktek-praktek matematika timur dan arab. Seksama yakin akan superioritas praktis dari metode Hindu-Arab calcultion fibonacci, pada 1202, tak lama setelah pulang, menerbitkan karya yang terkenal disebut Abaci Liber.
Abaci Liber dikenal tu kami melalui edisi kedua yang muncul di 1228. pekerjaan devited untuk aritmatika dan aljabar dasar dan meskipun dasarnya penyelidikan independen, menunjukkan pengaruh aljabar al-Khowarizmi dan Abu Kamil. buku mengilustrasikan deras dan sangat menganjurkan notasi Hindu-Arab dan berbuat banyak untuk membantu pekerjaan dijelaskan pembacaan dan penulisan angka baru, metode perhitungan dengan bilangan bulat dan pecahan, perhitungan akar kuadrat dan kubus, dan solusi linier dan persamaan kuadrat baik oleh posisi palsu dan oleh proses aljabar. akar negatif dan imajiner dari persamaan tidak diakui dan aljabar adalah retoris. aplikasi diberikan melibatkan barter, kemitraan, dan geometri aligasi mensurational. pekerjaan berisi koleksi besar masalah yang berfungsi kemudian penulis sebagai gudang selama berabad-abad. kita sudah, pada bagian 2-10, disebutkan satu masalah yang menarik dari koleksi, yang rupanya berevolusi dari masalah yang jauh lebih tua dalam papirus Rhind. Masalah lain, sehingga menimbulkan deret Fibonacci penting: 1,1,2,3,5 ,..., x, y, ,..., x + y dan beberapa masalah lain dari Abaci Liber.

pada 1220 muncul Fibonacci's geometriae Practica, koleksi besar materi geometri dan trigonometri diperlakukan terampil dengan ketelitian Euclidean dan orisinalitas beberapa, dan sekitar 1225 fibonacci menulis nya Liber quadratorum, sebuah karya brilian dan orisinal pada analisis tak tentu, yang telah menandai dirinya sebagai yang beredar matematika dalam bidang ini antara Diophantus dan Fermat. Karya-karya ini berada di luar kemampuan sebagian besar ulama kontemporer.

bakat Fibonacci datang menjadi perhatian pelindung belajar, Kaisar Frederick II, dengan hasil yang Fibonacci diundang ke pengadilan untuk berpartisipasi dalam turnamen matematika. tiga masalah yang ditetapkan oleh Yohanes dari Palermo, anggota rombongan kaisar. masalah pertama adalah untuk menemukan bilangan rasional x sedemikian sehingga x "+5 dan x" -5 masing-masing akan menjadi kuadrat dari bilangan rasional. fibonacci memberikan jawabannya x = 41/12, yang benar, karena (41/12) "+ 5 = (49/12)" dan (41/12) "- 5 = (31/12)". solusi muncul di quadratorum Liber. masalah kedua adalah untuk menemukan solusi persamaan kubik x "'+2 x" +10 x = 20.

Fibonacci mencoba bukti bahwa tidak ada akar dari persamaan dapat dinyatakan dengan cara irrationalities dari ......., bentuk atau, dalam kata-kata, bahwa tidak ada akar dapat dibangun dengan straightedge dan kompas. ia kemudian obtaioned jawaban perkiraan, yang, dinyatakan dalam notasi desimal, adalah 1,3688081075, dan benar untuk sembilan tempat. jawabannya muncul, tanpa diskusi yang menyertainya, dalam sebuah karya oleh fibonacci berjudul Flos ("blossom" atau "bunga") dan telah bersemangat bertanya-tanya beberapa. masalah ketiga, juga tercatat dalam Flos,

telah berpendapat bahwa Fibonacci muncul lebih besar dari dia sebenarnya adalah karena kurangnya sezaman sama. itu memang benar bahwa abad ketiga belas yang dihasilkan sangat sedikit matematikawan bertubuh apapun. sebelah fibonacci, dan kontemporer dengan dia, adalah Jordanus Nemorarius, biasanya diidentifikasi (tapi dalam semua kemungkinan salah) dengan biksu jerman Jordanus Saxo yang, di 1222, terpilih jenderal kedua Ordo Dominikan berkembang pesat. dia menulis beberapa karya yang berhubungan dengan aritmatika, aljabar, geometri, astronomi dan (Mungkin) statika. bekerja bertele-tele ini, beberapa yang menikmati ketenaran cukup pada satu waktu, sekarang tampak sangat sepele. Nemorarius meskipun, itu mungkin yang pertama secara luas untuk menggunakan huruf untuk mewakili angka umum, meskipun prakteknya memiliki pengaruh yang kecil terhadap penulis berikutnya. hanya ada satu contoh di mana fibonacci melakukan ini.

mungkin menyebutkan juga harus terbuat dari Sacrobosco (Yohanes Dari Holywood, atau John of Halifax), Campanus, dan Roger Bacon. matematika diajarkan pertama di Paris dan menulis sebuah kumpulan aturan aritmatika dan kompilasi populer ekstrak dari Ptolemy's Almagest dan karya astronom arab. Campanus'chief tawaran untuk ketenaran Transation Latin Elemen Euclid. Roger Bacon, jenius asli bahwa dia, memiliki sedikit kemampuan dalam matematika tetapi berkenalan dengan banyak dari karya-karya Yunani dalam geometri dan astronomi, dan sebagai eulogi nya membuktikan, sepenuhnya menghargai nilai subjek.

itu adalah bagian awal abad ketiga belas yang melihat munculnya universitas di Paris, Oxford, Cambridge, Padua, dan Napoli. Universitas kemudian menjadi faktor kuat dalam pengembangan matematika, matematikawan banyak dikaitkan dengan satu atau lebih lembaga tersebut.

Abad keempatbelas

abad keempat belas adalah satu matematis tandus. itu adalah abad Black Death, yang tersapu lebih dari sepertiga penduduk Eropa, dan pada abad ini Perang Seratus Tahun, dengan gejolak politik dan ekonomi di Eropa Utara, sembuh berlangsung.
matematikawan terbesar masa itu Nicole Oresme, yang lahir di Normandia sekitar 1323. ia meninggal pada 1382 setelah karir yang membawanya dari dosen untuk uskup. ia menulis lima karya matematika dan diterjemahkan sebagian dari Aristoteles. dalam salah satu saluran itu muncul penggunaan pertama yang diketahui eksponen pecahan (tidak, tentu saja, dalam notasi modern) dan di saluran lain ia menempatkan poin dengan koordinat, sehingga bayangan modern koordinat geometri. abad kemudian ini saluran terakhir menikmati beberapa cetakan, dan mungkin memiliki pengaruh matematikawan Renaisans dan bahkan Descartes.
meskipun matematika Eropa selama abad pertengahan pada dasarnya praktis, matematika spekulatif tidak sepenuhnya mati. meditasi filsuf skolastik menyebabkan halus berteori pada gerak, tak terhingga, dan kontinum, yang semuanya adalah konsep fundamental dalam matematika modern. berabad-abad perselisihan skolastik dan quibblings mungkin, sampai batas tertentu, akun untuk transformasi luar biasa dari kuno untuk berpikir matematika modern, dan mungkin, seperti yang disarankan oleh ET> Bell, merupakan analisis submathematical. dari sudut pandang ini Thomas Aquinas, mungkin memiliki pikiran acutest abad ketiga belas, juga dapat dianggap sebagai memiliki memainkan peran dalam pengembangan matematika. pasti lebih dari matematika konvensional Thomas Bradwardine (1290 - 1349), yang meninggal sebagai Uskup Agung Canterbury. selain spekulasi pada konsep-konsep dasar kontinyu dan diskrit dan pada tak terbatas besar dan kecil tak berhingga, Bradwardine menulis empat saluran matematika pada aritmatika dan geometri

8-5 Abad XV
Abad ke lima belas merupakan awal sanceEropa Renais dalam seni dan belajar. Puncak dari runtuhnya Kekaisaran Bizantium, yaitu ketika jatuhnya Konstantinopel ke tangan Bangsa Turki pada tahun 1453, pengungsi iring-iringan ke Italia dengan membawa harta karun peradaban Yunani. Banyak Yunani klasik, sampai saat ini dikenal hanya melalui terjemahan Arab yang sering tidak memadai ,namun sekarang bisa dipelajari dari sumber-sumber asli. Selain itu, sekitar pertengahan abad ini, percetakan ditemukan dan merevolusi perdagangan buku, yang memungkinkan pengetahuan untuk disebarluaskan pada tingkat yang belum pernah terjadi sebelumnya. Menjelang akhir abad, Amerika ditemukan.
Aktivitas matematika pada abad kelima belas sebagian besar berpusat di kota-kota Italia dan di kota-kota Eropa tengah Nuremberg, Wina, dan Praha, dan terkonsentrasi pada aritmatika, aljabar, dan trigonometri. Jadi matematika berkembang terutama di kota-kota niaga tumbuh di bawah pengaruh perdagangan, navigasi, astronomi, dan survei.
Mengikuti urutan kronologis pertama kita menyebutkan Nicholas Cusa, yang mengambil namanya dari kota Isyarat di Mosel, di mana ia lahir pada tahun 1401. Anak seorang nelayan miskin, ia dibesarkan di di Gereja, dan akhirnya menjadi pejabat tinggi gereja. Pada 1448, ia menjadi gubernur Roma. Dia tidak hanya kebetulan matematika tetapi berhasil dalam menulis sedikit di bidang matematika. Dia sekarang dikenal di sepanjang garis-garis ini terutama untuk karyanya pada reformasi kalender dan keberhasilan percobaannya dalam kuadrat lingkaran dan membagi tiga sudut umum. Dia meninggal pada 1464.
Seorang ahli matematika yang lebih baik Georg von Peurbach (1423-1461), yang menomori Nicholas Cusa sebagai salah seorang guru. Setelah berceramah tentang matematika di Italia, ia menetap di Wina dan membuat universitas pusat matematika dari generasinya. Dia menulis sebuah aritmatika dan bekerja di bidang astronomi, dan menyusun tabel sinus. Kebanyakan dari karya-karya tersebut tidak dipublikasi hingga setelah kematiannya. Dia juga telah memulai sebuah terjemahan Latin, dari bahasa Yunani, pada  Ptolemy's Almagest.
Ahli matematika ablest dan paling berpengaruh abad ini adalah Johann Miiller (1436-1476), lebih umum dikenal, dari bentuk Latin dari tempat kelahirannya dari Konigsberg ("raja gunung"), sebagai Regiomontanus. Pada usia muda ia belajar di bawah Peurb, ach di Wina dan kemudian dipercayakan dengan tugas menyelesaikan terjemahan yang terakhir tentang Almagest. Ia juga diterjemahkan, dari bahasa Yunani, karya-karya Apollonius, Heron, dan Archimedes. Risalah-Nya De triangulis omnimodis, ditulis sekitar 1464 namun diterbitkan secara anumerta pada tahun 1533, adalah publikasi terbesar dan merupakan eksposisi sistematis Eropa pertama pada pesawat dan trigonometri yang berhubungan dengan bola mempertimbangkan dengan bebas dari astronomi. Regiomontanus bepergian jauh di Italia dan Jerman, akhirnya menetap di 1471 di Nuremberg, tempat ia mendirikan sebuah observatorium, didirikan sebuah mesin cetak, dan menulis beberapa traktat tentang astronomi. Dia dikatakan telah membangun sebuah elang mekanik yang mengepakkan sayap dan dianggap sebagai salah satu keajaiban zaman. Pada 1475, Regiomontanus diundang ke Roma oleh Paus Siktus IV untuk ikut serta dalam reformasi kalender. Tak lama setelah kedatangannya, pada usia 40, ia tiba-tiba meninggal. Penyebab kematiannya masih misterius, karena, sebagian besar laporan mengklaim bahwa dia meninggal karena wabah penyakit, namun disamping itu juga dikabarkan bahwa ia diracuni oleh musuh.
Regiomontanus 'De triangulis omnimodis dibagi menjadi lima buku, empat pertama yang ditujukan untuk trigonometri pesawat dan nometry trigonometri lingkaran. Di dalamnya ia menunjukkan minat banyak dalam penentuan segitiga memuaskan tiga kondisi yang diberikan. Contoh umum dianggap oleh dia adalah: (1) Sebuah segitiga ditentukan dari perbedaan dari dua sisi, ketinggian di sisi ketiga, dan perbedaan segmen di mana ketinggian membagi pihak ketiga; (2) Sebuah segitiga ditentukan dari sisi, ketinggian di sisi ini, dan rasio dari dua sisi yang lain, (3) Konsepsiklik segiempat diberikan empat sisi. Regiomontanus dipekerjakan aljabar retoris untuk memecahkan masalah, menemukan bagian yang tidak diketahui dari angka sebagai akar dari persamaan kuadrat. Meskipun metode nya itu dimaksudkan untuk dianggap sebagai umum, ia selalu memberikan nilai numerik khusus untuk bagian yang diberikan. Fungsi trigonometri hanya bekerja di omnimodis De triangulis adalah sinus dan kosinus. Kemudian, Regiomontanus dihitung tabel tangen.
Matematikawan Perancis paling cemerlang abad kelima belas adalah Nicolas Chuquet, yang lahir di Paris, tapi tinggal dan praktek kesehatan di Lyons. Pada 1484, ia menulis sebuah aritmatika yang dikenal sebagai Triparty en la science des nombres, yang tidak dicetak sampai abad kesembilan belas. Yang pertama dari tiga bagian dari pekerjaan ini kekhawatiran itu sendiri dengan perhitungan dengan bilangan rasional, yang kedua dengan bilangan irasional, dan yang ketiga dengan teori persamaan. Chuquet mengakui eksponen integral positif dan negatif dan synoopated beberapa aljabarnya. Karyanya terlalu maju, untuk disamakan dengan orang-orang sezamannya. Dia meninggal sekitar 1500. Beberapa masalah dari Chuquet dapat ditemukan pada Soal Studi 8.7.
Pada 1494 muncul edisi cetak pertama dari ariihmelica de Summa, geomctrica, proportioni et proportionalita, biasanya disebut secara singkat sebagai Suma, dari ca {biarawan Italia Luca Pacioli. 1445-ca. 1509). Ini bekerja, bebas dikumpulkan dari berbagai sumber, konon menjadi ringkasan arithmetic aljabar, dan geometri waktu. Isipenting sedikit tidak ditemukan dalam Abaci Liber fibonacci tapi tidak menggunakan notasi yang unggul.
Bagian aritmatika dari Suma dimulai dengan algorisms untuk operasi dasar dan untuk mengekstraksi akar kuadrat. Presentasi agak lengkap, berisi, misalnya, tidak kurang dari delapan rencana kinerja sebuah perkalian. aritmatika Mercantile sepenuhnya ditangani dan diilustrasikan oleh banyak masalah, ada adalah pengobatan yang penting dari pembukuan double entry. Aturan posisi palsu dibahas dan diterapkan. Meskipun banyak kesalahan numerik, bagian aritmatika pekerjaan telah menjadi kewenangan standar pada praktek waktu. Aljabar dalam Sumo berjalan melalui persamaan kuadrat dan mengandung banyak masalah yang menyebabkan persamaan tersebut. aljabar ini syncopated oleh penggunaan seperti negosiasi ¬ disingkat sebagai p (dari PIU, "lebih") untuk plus, m (dari nieno, "kurang") untuk minus, co (dari cosa, "hal") untuk diketahui x , ce (dari censo) untuk , cu (dari cuba) untuk , dan cece (dari censocenso) untuk . Kesetaraan kadang-kadang ditandai oleh ae (dari aequalis). Bar sering muncul dari singkatan, tapi ini adalah kebiasaan 'untuk menunjukkan suatu kelalaian, seperti dalam Suma untuk Summa. Pekerjaan berisi sangat sedikit kepentingan dalam geometri. Seperti Regiomon-tanus, aljabar sering digunakan dalam pemecahan masalah geometri.
Pacioli bepergian, mengajar di berbagai tempat, dan menulis sejumlah karya-karya lain, tidak semua yang dicetak. Pada 1509, ia menerbitkan proporsi diuina Dc nya, yang berisi angka dari zat padat reguler diperkirakan telah ditarik oleh Leonardo da Vinci.
Penampilan pertama yang di cetak hingga sampai pada kita sekarang + dan - tanda-tanda ini dalam aritmatika diterbitkan di Leipzig pada tahun 1489 oleh Johann Widman (ca lahir 1460 di Bohemia.). Berikut tanda-tanda tidak digunakan sebagai simbol operasi tetapi hanya untuk menunjukkan kelebihan dan kekurangan. Cukup kemungkinan tanda plus merupakan kontraksi dari kata et Latin, yang sering digunakan untuk menunjukkan tambahan, dan mungkin bahwa tanda minus dikontrak dari fn singkatan untuk minus. penjelasan yang masuk akal lain telah ditawarkan. Tanda + dan - digunakan sebagai simbol operasi aljabar pada 1514 oleh ahli ilmu mathematik Belanda Vander Hoeck tetapi mungkin juga digunakan sebelumnya.
8-6 Awal aritmatika
Dengan minat pada pendidikan yang disertai Renaissance dan dengan meningkatnya aktivitas komersial yang luar biasa pada saat itu, tuan rumah buku populer di aritmatika mulai muncul. Tiga ratus buku seperti itu dicetak di Eropa sebelum abad ke tujuh belas. Teks-teks ini sebagian besar dari dua jenis, yang ditulis dalam bahasa Latin oleh para sarjana klasik sering diterapkan pada sekolah-sekolah Gereja, dan mereka yang ditulis dalam bahasa daerah oleh guru praktis dalam mempersiapkan anak laki-laki tertarik untuk karir komersial. Guru-guru terakhir sering juga menjabat sebagai surveyor kota, notaris, dan "gaugers, dan termasuk Rechenmeisters berpengaruh yang didukung oleh Liga Hanseatic, sebuah serikat pelindung kota komersial yang kuat di negara-negara Jerman.
Cetakan pertama the aritmetika tidak diketahui namanya  dan sekarang Treviso aritmatika, yang diterbitkan di 1478 di kota Treviso, terletak di jalur perdagangan yang menghubungkan Venesia dengan utara. Ini sebagian besar merupakan aritmatika komersial yang ditujukan untuk menjelaskan penulisan angka, perhitungan dengan mereka, dan aplikasi untuk kemitraan dan barter. Seperti "al-gorisms" awal dari abad keempat belas, juga berisi beberapa pertanyaan rekreasi.
Jauh lebih berpengaruh di Italia daripada Aritmatika Treviso adalah aritmatika komersial yang ditulis oleh Piero Borghi. Ini sangat berguna dan diterbitkan di Venice pada 1484 dan mencapai setidaknya tujuh belas edisi, yang terakhir muncul pada 1557. Pada 1491 muncul, di Florence, sebuah aritmatika kurang penting oleh Filippo Calandri, tapi menarik untuk kita karena dicetak menggunakan proses modern untuk yang pertama kali dan juga masalah digambarkan pertama kali diterbitkan di Italia. Kita telah dianggap Pacioli's Suma, yang diterbitkan pada tahun 1494, sebagian besar yang dikhususkan untuk aritmatika.
Aritmatika yang sangat berpengaruh di Jerman adalah aritmatika Widman yang diterbitkan di 1489 di Leipzig. Aritmatika Jerman penting lainnya yang ditulis oleh Jacob Kobel (1470-1533), seorang Rechenmeister dari Heidelberg. Popularitas aritmatika ini, diterbitkan di tahun 1514, dibuktikan oleh kenyataan melalui setidaknya 22 edisi. Tapi mungkin aritmatika komersial yang paling berpengaruh dari Jerman adalah Adam Riese (ca. 1489-1559), yang diterbitkan pada tahun 1522. Karya ini menjadi karya ternama yang bahkan saat ini di Jerman nach frase Adam Riese digunakan untuk menunjukkan perhitungan yang benar.
Inggris, juga, tercatat menghasilkan beberapa aritmatika awal. Penerbitan pertamadi Inggris yang ditujukan khusus untuk matematika adalah arithmatik yang ditulis oleh Cuthbert Tonstall (1474-1559). Buku ini, didirikan pada Pacioli 'S Suma, dicetak pada tahun 1522 dan telah ditulis dalam bahasa Latin. Selama hidup penting nya, Tonstall mengisi jumlah posting gerejawi dan diplomatik. Menjunjung orang sezamannya untuk beasiswa. Ituditunjukkan oleh fakta bahwa edisi cetak pertama dari Elemen Euclid di Yunani (1533) telah didedikasikan untuk dia. Tetapi penulis buku pelajaran bahasa Inggris yang paling berpengaruh pada abad keenam belas adalah Robert Recorde (ca. 1510-1558). Recorde menulis dalam bahasa Inggris, karya-karyanya muncul sebagai dialog antara guru dan siswa. Ia menulis sedikitnya lima buku, yang pertama menjadi aritmatika sebuah fancifully berjudul The Ground Aries dan diterbitkan sekitar tahun 1542. Karya ini menikmati setidaknya 29 percetakan. Recorde belajar di Oxford dan kemudian mengambil gelar dokter di Cambridge. Dia mengajar matematika di kelas swasta di kedua lembaga sementara di tinggal di sana dan setelah meninggalkan Cambridge menjabat sebagai dokter untuk Edward VI dan Mary Queen. Dalam kehidupan selanjutnya ia menjadi "Comptroller dari Pertambangan dan uang " di Irlandia. tahun terakhirnya dihabiskan di penjara, mungkin untuk beberapa pelanggaran yang berkaitan dengan pekerjaannya di Irlandia.
8-7 Awal Simbolisme aljabar
Selain aritmatika nya, disebutkan dalam bagian terakhir, Robert Recorde menulis astronomi, geometri, aljabar, sebuah buku tentang obat-obatan, dan mungkin beberapa lainnya sekarang hilang. Buku tentang astronomi, dicetak pada tahun 1551, disebut The Castle of Knowledgedan merupakan salah satu karya pertama yang memperkenalkan sistem Copernican untuk pembaca bahasa Inggris. geometri Recorde, The Pathewaie untuk Pengetahuan, juga dicetak pada tahun 1551 dan berisi ringkasan dari Elemen Euclid. Yang menarik sejarah di sini adalah aljabar Recorde, yang disebut The Whetstone of Witte, diterbitkan pada 1557, untuk itu dalam buku ini bahwa simbol modern kita untuk kesetaraan digunakan untuk yang pertama kalinya. Recorde dibenarkan adopsi nya dari sepasang sebesar segmen garis sejajar untuk simbol kesetaraan "noe bicause 2 thynges bisa equalle moare."
Simbol lain aljabar modern kita, yaitu tanda radikal akrab (Diadopsi mungkin karena menyerupai r kecil, untuk radix), diperkenalkan pada tahun 1525 oleh Christoff Rudolff dalam buku tentang aljabar berjudul Die Coss. Buku ini sangat berpengaruh di Jerman dan edisi peningkatan pekerjaan itu dibawa keluar oleh Michael Stifel (1486-1567) pada tahun 1553. Stifel telah digambarkan sebagai aljabar Jerman terbesar dari abad keenam belas. bekerja besCTcnown matematika-Nya adalah miliknya Arithmetica Integra, yang diterbitkan pada 1544. Hal ini dibagi menjadi tiga bagian setia, masing-masing, untuk bilangan rasional, bilangan irasional, dan aljabar. Pada bagian pertama, Stifel menunjukkan keuntungan dari mengasosiasikan sebuah kemajuan aritmatika dengan yang geometris, sehingga bayangan penemuan logaritma hampir satu abad kemudian. Dia juga memberikan, dalam bagian ini, koefisien binomial sampai urutan ketujuh belas. Bagian kedua dari buku ini pada dasarnya adalah presentasi aljabarEuclid's Book X, dan bagian ketiga berkaitan dengan persamaan. Negatif akar dari suatu persamaan dibuang, tetapi tanda-tanda + ,-, digunakan, dan sering tidak diketahui diwakili oleh huruf.
Stifel adalah salah satu kepribadian paling aneh dalam sejarah matematika. Ia merupakan biarawan, dikonversi oleh Martin Luther, dan menjadi seorang reformis fanatik. Pikiran-Nya tidak menentu membuatnya menikmati mistisisme nomor. Dari analisis tulisan Alkitab, ia bernubuat akhir dunia pada 3 Oktober 1533 dan dipaksa untuk berlindung di penjara setelah merusak kehidupan petani percaya banyak yang telah meninggalkan pekerjaan dan harta untuk menemaninya ke surga. Contoh ekstrim dari penalaran mistis Stifel adalah buktinya, dengan arithmology, bahwa Paus Leo X adalah "binatang" yang disebutkan dalam Kitab Wahyu. Dari LEO DECIMVS dia mempertahankan huruf LDCIMV. Dia kemudian menambahkan X, untuk Leo X, dan dihilangkan M, karena berdiri misteri. Sebuah penataan huruf memberikan DCLXVI, 666, atau "jumlah binatang" dalam Kitab Wahyu.
Beberapa tahun kemudian Napier, penemu logaritma, menunjukkan bahwa 666 berdiri Paus Roma, dan Jesuit kontemporer-Nya, Bapa Bongus, menyatakan bahwa ia berdiri untuk Martin Luther. Selama Perang Dunia I, arithmology, telah digunakan untuk menunjukan 666 yang harus ditafsirkan Kaisar Wilhelm. Ini menunjukan bahwa 666 berwewenang bila mana tepat dalam simbol huruf dari bahasa Aramaic yg mana mula-mula telah ditulis dalam buku wahyu.
8.8 Persamaan pangkat tiga dan pangkat empat.
            Yang paling banyak menarik perhatian adalah hasil penemuan matematika abad ke-16, oleh matematikawan Italia, yaitu penyelesaian persamaan aljabar pangkat tiga dan pangkat empat. Penemuan sejarah ini, diungkapkan dalam beberapa versi, diantarannya ditulis oleh Benvenuto Cellini.
Briefly menceritakan fakta adanya sedikit kesukaran. Tentang 1515, Scipione del Ferro (1465-1526), Matematikawan di universitas Bologna, memecahkan persamaan aljabar pangkat tiga . Dasar dari permulaan pekerjaan ini bersumber dari arab. Sekitar tahun 1535, Nicolo of Brescia, biasanya menunjukkan kepada Tartaglia karena Childhood Injury yang mana mempengaruhi pemikiran dia, penemuan pemecahan persamaan aljabar pangkat tiga .
             Pemecahan persamaan pangkat tiga  dibuktikan oleh Cardano Ars magna di bawah ini:
Kita misalkan
Kemudian subtitusikan ke persamaan awal menjadi:

Kemudian x dimisalkan sama dengan . Pemecahan terakhir kedua persamaan tersebut disamakan untuk a dan b kita dapatkan:


Dan x determinan.
           Metode Ferrari’s memecahkan berpangkat empat, meringkas dengan notasi modern, yaitu seperti di bawah ini. Transformasi sederhananya dengan mereduksi lengkap pangkat empat untuk satu bentuk.

Kita uraikan persamaan diatas diperoleh:

Kemudian kedua ruas di tambah  maka diperoleh:

Sekarang kita memilih y, dari anggota persamaan kuadrat. Contoh kasusnya adalah:

Tetapi pangkat tiga dari y,dan mungkin ada beberapa cara untuk memecahkannya. Mereduksi nilai y dari masalah utama yaitu menghilangkan akar pangkat dua.
         Sejak pemecahan masalah umum persamaan pangkat empat yaitu membuat pemecahan masalah yang menghubungkan persamaan pangkat tiga, Euler 1750, mencoba memecahkan masalah reduksi umum persamaan pangkat empat.
            Girolamo Cardano adalah salah seorang yang mempunyai karakter luar biasa dalam sejarah matematika. Pada tahun 1572, sebelum Cardano meninggal, Rafael Bombelli mengumumkan aljabar mana yang berperan penting dalam memecahkan persamaan pangkat tiga. Didalam buku sekolahnya (textbook) dapat dilihat teori persamaan bahwa jika  adalah negatif, maka persamaan pangkat tiga  bilangan real akar tiga.

8.9 Francois Viete
          French adalah matematikiawan besar pada abad ke-16 dengan nama Francois Viete, seringkali dipanggil dengan nama sebutan dalam bahasa latin namanya yaitu Viete. Dia lahir pada tahun 1540 di Fontenay dan meninggal pada tahun 1603 di paris.
            Viete bekerja menulis bilangan Trigonometri, Aljabar dan Geometri. Viete memperoleh lambang untuk  sama fungsinya dengan  untuk , dan kemudian mendapatkan solusi untuk Trigonometri yang khususnya tidak dapat diperkecil lagi dalam pangkat tiga. Kita menulis  kemudian oleh Viete ditulis . Viete juga memenuhi syarat koefisien persamaan polinon untuk membuat persamaan homogen dan sekarang dia menggunakan + dan -, tetapi dia tidak mempunyai simbol untuk persamaan. Demikian dia ingin menulis:

(B 5 in A quad – C plano 2 in A + A cub aequartur D solido)
Catatan bagaimana koefisien C dan D are qualified so as to make each term of the equation three dimensional. Viete mengginakan simbol = diantara banyak keduanya, tidak menunjukan banyaknya persamaan tetapi cukup menunjukan perbedaan diantaranya.
            In De numerosa, Viete memberikan proses yang sistematis, yang mana pada tahun 1680 digunakan, untuk memperkenalkan keberhasilan akar-akar persamaan. Metode menjadi sulit untuk persamaan derajat tinggi pada abad ke-17 matematikiawan membuat “work unfit for a christian”. Mempergunakan persamaan kuadrat.

menurut metode. Kita misalkan   kemudian subtitusikan kepersamaan sebelumnya yaitu k persamaan  :
Ambil  untuk mengganti  diperoleh:
Sekarang setelah diperbaiki maka mendekati, , kita berhitung dengan cara yang sama untuk mendekati lebih baik, , dan so on. Viete menggunakan metode peendekatan akar persamaan pangkat enam. 
            Dengan anumerta viete menggunakan uraian yang berisi beberapa kepentingan teori persamaan. Uraiannya adalah mendirikan secara rapi menurut pemecahan persamaan pangkar tiga , yang mana pangkat tiga dapat direduksi. Mengatur.
Salah satu persamaannya menjadi:
Kuadrat dalam . Demikian kita dapatkan , dan kemudian y dan x. Viete memecahakan pangkat empat sama dengan cara Ferrari’s. Consider the general depressed quartic.

Yang mana boleh ditulis sebagau berikut:
Tambahkan kedua ruas dengan :
Now we choose y so that the right member is a perpect square. The condition for this is:

A cubic in . Such a y may be found and the problem completed by extracting squar roots

8.10 Matematikiawan Lain pada Abad ke-16
            Kita menganggap matematikiawan pada abad ke-16 ini sedikit. Matematikiawan lain pada abad ini yaitu Clavius, Cataldi dan Stevin, serta matematikiawan astronominya adalah Copernicus, Rhaeticus dan Pitiscus.
            Christopher Clavius lahir di Bamberg, Jerman pada tahun 1537 dan meninggal di Roma pada atahun 1612. Dia sekolah di Jerman pada abad ini dia mendirikan sekolah edge of the subject. Dia guru yang cakap dan dia menulis Aritmatika (1583) dan Aljabar (1608) pada bukunya. Pada tahun 1574 dia mengeluarkan of  Euclid’s Element yang berharga untuk its extensive scholia.
            Pietro Antonio Catalgi lahir di Bologna pada tahun 1548, dia adalah guru matematika dan astronomi di Florence, Perugia dan Bologna dan dia meninngal di kota Birth pada atahun 1626. Dia menulis bilangan aritmatika matematika, dan dia penerbit pertama buku Elements.
            Matematikiawan yang paling berpengaruh pada abad ke-16 adalah Simon Stevin (1548-1620). Dia menjadi Quartermaster general tentara belanda. Yang menyemangati astronom matematikiawan yang terkemuka adalah Nicolas Copernicus (1473-1543) di Polandia. Dia pendidikannya di Universitas Cracow dan  astronominya di Padua dan Bologna.
            Rhaeticus adalah orang pertama yang menentukan fungsi trigonometri segitiga siku-siku. Dia juga menerbitkan tabel sinus dandi sempurnakan pada tahun 1593 oleh Bartholomaus Pitiscus (1561-1613). Uraian dia tentang trigonometri sangat memuaskan dan pertama kalinya dia membawa gelar.
            Catatan menarik dimana pekerja matematikiawan pertama masuk di dunia baru diperlihatkan pada tahun 1556 dikota Mexiko, karyanya dijual oleh Juan Diez.