Senin, 20 Mei 2013

Permulaan Ide Matematika pada Masa Yunani Kuno



            Kata "matematika" diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti "mata pelajaran. Pencapaian matematika paling awal dari Yunani hampir sepenuhnya tidak kita ketahui, itu adalah fakta yang tak dapat dipungkiri bahwa mereka tidak pergi kemana saja di luar pengetahuan umumnya saat itu. Luasnya pengaruh Mesir (melalui peradaban Kreta-Mycenaean) dan Timur dekat (melalui pemukiman di sekitar Aegean) masih problematis.
            The Herodianic nomor (unit decadic I, Δ, H, X, M, dalam kombinasi dengan unit yang terdiri dari lima bagian r, rΔ, rH, dll) adalah huruf awal dari kata angka yang sesuai. Mereka muncul dalam prasasti Attic yang berasal dari abad ke 6 sampai abad ke 1 SM, yang digunakan secara berjajar, dan bertugas untuk menunjukkan kolom di papan penghitungan. Dari abad ke-5 SM , juga penggunaan jumlah surat Milesian menjadi nyata, dalam sistem ini, nomor dari 1 sampai 9, puluhan 10-90, dan ratusan 100-900 diwakili oleh dua puluh empat huruf standar dari Yunani huruf dan tiga huruf yang lebih tua (stigma, koppa, sampi). Kemudian ribuan diindikasikan oleh stroke (coretan) rendah sebelum huruf-angka, unit pecahan dengan tanda aksen setelah penyebut, apalagi, ada simbol individu untuk ½ dan 2/3. Pengetahuan kita tentang aritmatika menggunakan angka-angka ini berasal contoh fron sesekali dalam tulisan-tulisan periode klasik pos, dari papirus ditemukan, dan dari risalah abad 13 dan 14 Bizantium.
Menurut tradisi Stoic dan Neo-Pythagoras (tidak dapat dipercaya dan dipengaruhi dengan sebuah legenda), Thales yang Milesian (624-548 SM) dari Samos dan Pythagoras (580-500 ac) seharusnya sudah memiliki pengetahuan matematika yang cukup khusus. Di dalam komunitas Esoteris Pythagorean sebelumnya, masyarakat politik-agama cenderung berpihak kepada Aristoteles (masa kejayaan sekitar 500 A.C), kita menemukan spekulasi fantastis berdasarkan nomor, awal pertama dari teori ilmiah angka: integer diklasifikasikan sebagai ganjil atau genap, sebuah perbedaan dibuat antara nomor perdana dan nomor komposit, nomor persegi diakui sebagai jumlah dari angka berturut-turut. Unit itu belum dianggap sebagai angka, melainkan sebagai sumber dan asal dari semua angka yang dihasilkan oleh aplikasi berulang.
            Matematika secara ilmiah mungkin telah dimulai pada masa Anaxagoras dari Clazomenae (500-428 SM) yang menegaskan bahwa tidak ada terkecil dari jumlah kecil dan dengan demikian, tidak ada terbesar dalam jumlah besar. Dalam fragmen dari harta karun oleh Hippocrates Chios pada Quadrature dari Lune (440 SM), metode kesimpulan mencapai sudah menunjukkan sistematisasi menyapu. Dibalik pernyataan individu tampaknya mengintai, tentu saja tanpa jelas dinyatakan di mana saja prinsip nilai rata-rata, yang menurutnya properti (dalam hal ini khususnya kesegiempatan dari Lune itu) dibentuk dalam beberapa kasus khusus harus dipertimbangkan agar berlaku secara umum . Hal ini tampaknya berada dalam perjanjian yang sangat baik dengan berdiri di bawah dari Democritus dari Abdera (460-370 SM) yang mengajarkan tentang permasalahan atomisme, yang menemukan volume piramida dan kerucut (mungkin dengan pembagian kedalam beberapa lapisan), tetapi tetap tidak dapat membuktikan fakta-fakta ini secara ketat, Democritus adalah orang yang memiliki keinginan yang besar dalam mempejari musik, seperti kebanyakan orang Yunani, ia menjadi pelopor untuk mempelajari teori musik, mungkin telah dibawa kehubungan keselarasan interval musik dengan panjang dari bagian-bagian dari monochord dibagi oleh sebuah bridge, rasio bagian yang dinyatakan dalam bilangan bulat sederhana. Pandangan ini mencerminkan sikap dasar kuat yang benar-benar masuk akal dari filsuf alam pada masa itu. Yang menyebabkan tanpa batas dengan keyakinan bahwa bilangan bulat adalah untuk dianggap sebagai ukuran segala sesuatu? Hal itu diungkapkan, antara lain dalam Kanon Polycleitus dari Sicyon (440 SM) dan teori sekutu dari keselarasan lingkungan dan akhirnya dengan keyakinan dalam pengembalian berkala dari semua yang hidup (perpindahan jiwa).

B.     Tokoh Arithmatika Universalis

Di antara Pythagorean yang berada di selatan Italia di antaranya Archytas dari Tarentum (428-365 SM) dapat dianggap sebagai tokoh penting Universalis Arithmetica, berdasarkan teori proporsi yang melibatkan bilangan rasional yang dibangun sekarang, peran utama di dalamnya dipengaruhi oleh tiga nilai dasar (Aritmatika, Geometri dan Nilai Harmoni). Sebuah hal yang tentu tidak signifikan pada solusi simetris persamaan linear lebih dari satu tidak diketahui oleh Thymaridas of Paros (abad ke-5 SM); persamaan kuadrat diselesaikan dengan cara merata-atakan sebuah kotak,ini sebuah metode yang sugestif dari pengaruh bangsa Babilonia. Di bidang planimetry, teorema melibatkan kesejajaran dan sudut, segitiga, persamaan luas, transformasi bidang, sudut lingkaran, dan kesamaan dikenal dan sistematis untuk sebagian besar dalam fitur dalam teorema mereka, meskipun ditunjukkan tanpa keseragaman atau keseimbangan. Mereka pertama kali dirangkum dalam bentuk buku teks seperti oleh Hippocrates, yang mengajar matematika secara gratis. Selain konstruksi dibentuk oleh kompas dan penggaris, interpolasi dengan menggunakan perangkat geometris mekanik dengan bagian-bagian geser memainkan peran besar. Alat-alat ini pasti diterapkan jug, dengan konstruksi dasar dari lima titik yang berurutan seperti bintang, pentakel itu adalah lambang dari Pythagorean. Stereometry masih dalam masa perkembangan. Hal tersebut semata-mata sebagai tanda jasa dengan masalah praktis yang asli (Agatharus, sekitar 460 SM) dan telah berkembang ke arah perspektif dengan tulisan-tulisan Anaxagoras dan Democritus. Kepadatan yang sudah dikenal dari masa lalu jauh sebagai ornamen dan objek keagamaan, tetapi belum dipelajari secara teoritis.
Anaxagoras sudah mengerjakan pengkuadratan lingkaran (sekitar 434 SM); Antiphon (sekitar 430 SM) memperkirakan luas lingkaran (mulai dengan persegi) melalui pembangunan sistematis dari konstruksi sistematis poligon reguler tertulis dari sisi. Bryson dari Heracles (sekitar 410 SM) juga dibuat menggunakan poligon yang terbatas, ia harus menggunakan prinsip nilai rata-rata untuk membuktikan adanya akar persamaan di daerah lingkaran. Untuk pembagian segitiga secara umum. Hippias, para sofis dari Elis (sekitar 420 SM) memperkenalkan , diproduksi secara mekanik sebagai titik potong dari garis secara keseluruhan menggantikan garis dengan perputaran jari-jari vektor, dan kemudian (sekitar 350SM) dimanfaatkan oleh Dinostratus untuk mengkuadratkan lingkaran (karenanya disebut quadratix). Interpolasi dua cara geometris direduksi oleh Hippocrates untuk  dan diselesaikan dengan Archytas stereometrically menjadi irisan silinder  dengan kerucut    dan torus .


C.     Matematikawan-Matematikawan Yunani Kuno

            Seperti yang kita ketahui bahwa matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya. Berikut beberapa matematikawan pada masa Yunani kuno :


1.      Thales(± 624 – 548 SM)
Thales dilahirkan di Militus. Dimasa mudanya Thales aalah seorang pedagang yang membawanya pergi jauh dari negerinya. Dalam kunjungannya ke negeri-negeri yang lain, Thales berkesempatan menambah pengetahuannya dalam bidang matematika, alam dan astronomi. Thales mengemukakan lima teorema tentang geometri, yang mungkin diperolehnya dari hasil perjalanannya. Teorema tersebut adalah:
·         Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameternya.
·         Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama.
·         Pasangan sudut siku-siku yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan adalah sama.
·         Dua segitiga adalah sama dan sebangun apabila dua sudut dan satu sisinya sama.
·         Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah siku-siku.
      Dalam bidang astronomi, Thales dikagumi karena Thales sudah dapat memprediksi gerakan ellips matahari dalam peredarannya dalam satu tahun.
2.      Phytagoras
Sama halnya dengan Thales, Phytagoras juga pernah belajar di Mesir, Babylonia, dan India. Sekembalinya dia dari perjalanan ke luar negeri, Phytagoras mendirikan sebuah sekolah di Crotona yang memberikan pelajaran falsafah, matematika dan ilmu pengetahuan alam. Motto dari Phytagoras yang terkenal adalah “semua adalah bilangan” atau “bilangan menguasai seluruh alam”. Dalam hal ini, bilangan dianggap sebagai sejumlah titik dalam konfigurasi geometri, yang menggambarkan mata rantai antara geometir dan aritmatika. Phytagoras dan pengikutnya membangun bilangan-bilangan figuratif dimana banyak teorema menarik yang dapat dibuat dengan bilangan figuratif ini, antara lain: Bilangan triangular, Bilangan bujursangkar, Bilangan pentagon, Bilangan hexagon, Bilangan persegi panjang.
Bilangan lainnya yang dianggap sebagai hasil temuan Phytagoras adalah bilangan bersahabat dan bilangan sempurna. Suatu bilangan dikatakan bilangan bersahabat apabila bilangan yang pertama sama dengan jumlah pembagi murni bilangan kedua, dan bilangan kedua sama dengan pembagi murni bilangan pertama. Sedangkan untuk bilangan sempurna apabila jumlah pembagi murni suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri.

3.      Anaxagoras
Anaxagoras dilahirkan di Clazomenae dan meninggal kira-kira tahun 428 SM. Dia pernah dipenjarakan di Athena karena dia mengatakan bahwa matahari bukanlah dewa yang harus disembah, melainkan hanyalah sebuah benda besar yang berpijar. Pendapat ini sangat bertentangan dengan kepercayaan masyarakat ketika itu sehingga Anaxagoras dimusuhi oleh masyarakat. Kemudian Anaxagoras menerbitkan buku yang berjudul “On Nature”. Dengan terbitnya buku tersebut, pendapat Anaxagoras mengenai alam semesta mulai berkembang di tengah masyarakat dan akhirnya karya Anaxagoras ini menjadi buku yang sangat popular di zaman itu.

4.      Hippocrates
Hippocrates dilahirkan di Chios kira-kira tahun 460 SM. Hippocrates menulis buku yang berjudul “Element of Geometry”. Menurut teorema Hippocrates, segment-segment yang sebangun dari lingkaran-lingkaran yang mempunyai ratio yang sama dengan kuadrat-kuadrat alasnya. Hippocrates mendemonstrasikan teoremanya ini dengan memperlihatkan bahwa luas dua lingkaran adalah berbanding lurus dengan kuadrat diameter-diameternya.

5.      Archytas
Archytas dilahirkan di Torentum kira-kira 428 SM. Dia adalah seorng jenderal dan negarawan sekaligus seorang pengikut Phytagoras yang menempatkan aritmatika diatas geometri. Archytas adalah orang yang sangat perhatian dengan pendidikan dan kurikulum sekolah. Dia membagi matematika atas empat cabang matematika, yakni aritmatika, geometri, musik dan astronomi. Salah satu karya Archytas yang menonjol adalah penyelesaian Delion Problem dengan tiga dimensi yang melibatkan kerucut dan silinder, yang merupakan langkah pertama kepada geometri analitik.

6.      Zeno
Menurut ajaran Phytagoras, ruangan dan waktu diasumsikan sebagai titik-titik, dan ruang dan waktu juga mempunyai suatu sifat yang disebut “kontinuitas”. Menurut ajaran Phytagoras waktu dan ruang dapat dibagi atas bagian-bagian yang sangat kecil sekali, yakni kecil yang tak terhingga. Tetapi pendapat ini ditentang oleh Zeno, yang berpendapat bahwa konsep divisibialitas dan multiplicitas adalah tidak mungkin.
Zeno mengemukakan beberapa paradox, yang sebagian besar berhubungan dengan gerak benda. Diantara paradok-paradok Zeno ini yang paling terkenal antara lain: dichotomy, achiles, panah, stadium.

7.      Democritus
Democritus dikenal sebagai penganut paham “Doctrin Materialistik”. Dia pernah melakukan perjalanan ke Mesir dan Babylonia. Democrats banyak menulis tentang matematika, beberapa buku diantaranya adalah : on numbers, on geometry, on irrational. Disamping Democritus juga banyak menulis risalah-risalah dalam bidang matematika dan kimia.

8.      Plato (428 - 348 SM)
Meskipun tidak banyak menghasilkan karya-karya dalam bidang matematika, namun Plato adalah seorang inspirator aktivitas matematika, dimana dia banyak membantu mathematician lainnya dalam pengembangan matematika. Salah satu penemuan khusus dari Plato dalam bidang matematika adalah penemuannya tentang rumus triple phytagoras. Pentingnya Plato dalam sejarah matematika adalah karena perannya yang sebagai pemancing inspirasi dan bimbingannya terhadap teman-teman seangkatannya.
Dalam karyanya Republic, Plato mengatakan bahwa “aritmatika mempunyai efek yang besar sekali, yaitu memaksa pikiran untuk memikirkan bilangan yang abstrak” dan “bilangan adalah raja dari kelahiran buruk dan baik”. Dari apa yang telah dilakukan dan dihasilkan Plato, dapat diambil kesimpulan bahwa Plato mempunyai pengaruh yang sangat besar dalam perkembangan matematika. Akademi Plato di Athena merupakan pusat matematika dunia pada waktu itu. Dan dari seklah Plato ini muncul guru-guru dan peneliti-peneliti matematika yang kenamaan pada zamannya, seperti Eudoxus.

9.      Eudoxus (408 – 355 SM)
Eudoxus adalah salah seorang murid Plato.Dalam bidang matematika, Eudoxus memperkenalakan hal baru mengenai perbandingan seharga. Dimana a/b = c/d jika dan hanya jika diketahui bilangan m dan n, bilangan ma < nb, maka mc < nd, atau jika ma = nb, maka mc = nd, atau jika ma > nb, maka mc > nb.
Disamping defenisi mengenai perbandingan seharga, Eudoxus menemukan lagi suatu aksioma yang sering disebut dengan”aksioma kontuinitas”. Aksioma ini menyatakan bahwa: apabila diketahui dua besaran yang mempunyai suatu ratio (artinya bilangan tersebut tidak ada yang sama dengan nol)  maka dapat dicari suatu pengali sehingga salah satunya lebih besar dari yang lain.

10.  Archimedes (287 - 212 SM)
      Ia berasal dari Syracuse. Ia menggunakan metoda kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur parabola dengan penjumlahan barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi. Dia juga mengkaji spiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar.

11.  Hippias
Hippies dilahirkan di Ellis. Hippies banyak sekali menulis naskah, baik mengenai matematika, maupun pidato-pidato, tetapi semua hasil karya Hippias ini tidak dapat ditemukan. Hippies memperkenalkan bentuk kurva yang lain dari kurva, garis lurus dan lingkaran, yang lebih dikenal dengan trisectrix/quadratrix dari Hippias. Kurva Hippias ini lebih dikenal dengan quadratrix, sebab kurva ini dapat digunakan untuk mengkuadratkan suatu  lingkaran.

12.  Aristotles (388 – 322 SM)
Karyanya yang berjudul “On Indivisible Lines” cukup menjadi pembicaraan orang ramai. Isi dari risalah ini mengenai indivisible (tak dapat dibagi). Aristotle juga menulis biografi tentang Phytagoras, namun karyanya ini hilang. Diskusi-diskusi dan ceramah-ceramah yang dilakukannya mengenai adanya infinito (tak terhingga) dalam aritmatika dan geometri mempengaruhi penulis-penulis berikutnya terhadap dasar-dasar matematika.

1 komentar: