Senin, 20 Mei 2013

Euclid of Alexandria


BAB I
PENDAHULUAN
A.       Latar Belakang Masalah
Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di antara tahun 600 SM sampai 300 SM. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota yang tersebar di sekitaran Laut Tengah bagian Timur, mulai dari Italia hingga ke Afrika Utara, namun dibersatukan oleh budaya dan bahasa Yunani. Matematika Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut matematika helenistik. Kata "matematika" sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno μάθημα (mathema), yang artinya "pelajaran tentang instruksi". Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan untuk. Dalam perkembangannya matematika Yunani melahirkan banyak sekali matematikawan yang sangat berjasa dalam dunia matematika hingga saat ini. Salah satunya adalah Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada textbooknya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements. Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Untuk mengetahui secara terperinci tentang matematikawan Euclid, akan dijelaskan dan dipaparkan dalam uraian makalah ini.

B.       Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian diatas, maka rumusan masalah dalam makalah ini adalah :
1.    Siapakah Euclid sebenarnya ?
2.    Apa saja karya – karya yang diciptakan Euclid ?
3.    Apa sumbangsih pemikiran Euclid terhadap matematika ?


C.  Tujuan
Adapun tujuan dalam pembuatan makalah ini sebagai berikut :
1.    Menyampaikan informasi mengenai tokoh matematika Euclid
2.    Menyampaikan informasi mengenai karya-karya ciptaan Euclid
3.    Memberikan informasi mengenai sumbangsih pemikiran Euclid terhadap matematika


BAB II
EUCLID DARI ALEXANDRIA
A.       Biografi Euclid
Euclide adalah nama dari Arabisasi dari kata Εὐκλείδης Yunani, yang berarti "kemuliaan baik." Euclide adalah tokoh ilmu ukur dari Yunani. Dia juga penyusun buku pelajaran yang terbesar sepanjang abad.  Euclide  dikenal juga sebagai Euclid atau Euclid of Alexandria. Euclid ini adalah salah satu murid dari akademi Plato di Athena. Selain kemasyhurannya, hampir tidak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Dia pernah aktif sebagai guru di Iskandaria, Mesir, pada sekitar 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan meinggal benar-benar tidak jelas. Bahkan, sulit diketahui di benua dan di kota mana dia dilahirkan. Yang jelas ia hidup pada zaman Ptolemaeus l (305-285 SM.), raja Mesir bekas jenderal kesayangan Alexander Agung. Ptolemaeus l membuat kota Alexandria jadi ibu kota. Jadi pusat perdagangan dan pusat ilmu pengetahuan. Ptolemaeus l juga  membuat perpustakaan yang terbesar di dunia pada zaman itu. Perpustakaan itu menyimpan 700.000 gulung naskah kuno. Euclide adalah orang pertama di dunia yang mendirikan sekolah matematika  di Alexandria. Menurut  Proclus pada suatu hari Ptolemaeus l ingin sekali belajar geometri dari Euclide. Ia mengundang Euclide ke istananya dan mulai mendengarkan pelajaran geometri dari Euclide. Tapi kemudian Ptolemaeus merasa bahwa geometri terlalu sulit dan terlalu lama untuk dimengerti. Maka ia minta agar pelajaran dipercepat. Euclide menjawab, “Bagi raja pun tak ada jalan pintas ke geometri!”. Mekipun demikian, di bidang geometri Euclid memberikan warisan penting bagi dunia. Maka tak mengherankan jika Euclid disebut “ bapak” geometri. Namun dalam tulisan-tulisan orang-orang Arab bahwa  Euclid bin Naqrat bin Znarjos, lahir  di Btabrh, kebangsaan Yunani. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua buku teks yang pernah dibuat orang sebelumnya. Buku ini aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul pada 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Johann Gutenberg. Sejak penemuan mesin cetak, buku itu diterbitkan dalam ribuan edisi dengan beragam corak.
Buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku ini adalah contoh komplit perihal struktur dedukatif dan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.
Pada umumnya orang-orang Eropa tidak beranggapan bahwa geometri ala Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak. Mereka justru sangat yakin bahwa gagasan Euclid benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya. Pengaruh Euclid terhadap Isaac Newtown juga sangat kentara. The Principia karya Newton mirip dengan The Elements. Selain itu, berbagai ilmuwan juga mencoba menyamakan diri dengan Euclid. Caranya dengan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal dari asumsi asli. Itulah yang antara lain dilakukan oleh ahli-ahli matematika seperti Bertrand Russel, Alfred North Whitehead, dan filosof Spinoza. Kini para ahli matematika telah mamaklumi bahwa geometri Euclid bukan satu-satunya sistem geometri yang menjadi pegangan pokok. Mereka maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan ala Euclid.

B.       Karya –Karya Euclid
Euclid banyak menulis buku sebagai hasil karyanya. Salah satu karya Euclid yang terkenal adalah bukunya yang berjudul "Stoicheia" atau The Element (unsur) tentang geometri (ilmu ukur) yang jadi buku pelajaran yang di pakai di sekolah menengah di seluruh dunia selama 20 abad lebih. Buku itu terdiri dari 13 jilid, sebagai berikut:
1.      Buku I
Isinya mulai dari aksioma, defenisi dan dalil-dail geometri. Terdapat 48 dalil geometri dalam buku ini. 26 dalil pertama berisi tentang segitiga, antara lain tentang dalil dua segitiga yang kongruen. Dalil 27-32 mengenai kesejajaran dan jumlah sudut segiitga adalah . Dalil 33-48 mengenai jajaran genjang, segitiga siku-siku, dan bujursangkar dan luasnya. Dalil 47 adalah mengenai teorema phitagoras dan dalil 48 mengenai kebalikan torema itu.
2.      Buku II
Terdapat mengenai transformasi aljabar, seperti perhitungan a(b+c) atau (a+b)2 dan hal tersebut memberikan penyelesaian pada pers. Kuadrat secara umum yang dimisalkan dengan  x2 = a(a-x) dan beberapa dalil mengenai aljabar geometri dan identitas aljabar.
3.      Buku III
Dalam buku ini terdapat dalil-dalil mengenai lingkaran, tali busur, garis singgung dan pengukur sudut.
4.      Buku IV
Di dalam buku ini dibahas mengenai lukisan geometri menggunakan alat Euclide. Dengan alat Euclide melukis segitiga, segilima, segiempat, segi enam, dan segi limabelas beraturan dengan membagi-bagi busur lingkaran, melukis segi (n) beraturan. Sehingga sampai abad delapan belas dianggap bahwa semua segi banyak dapat dilukis dengan alat Euclide. tetapi pada tahun 1796, Carl Frederich Gauss membuktikan suatu segi banyak beraturan yang banyak sisinya bilangan prima dapat dilukis  bila bilangan prima itu
f(n)= n+ 1. Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4 berturut-turut didapat segi 3, 5, 17, 257, 65.537.
5.      Buku V
Buku ini berisi landasan tentang perbandingan teori Eudoxian mengenai perbandingan diperjalas sehingga kehebohan penemuan bilangan irrasional oleh sekolah Pythagoras dapat dipecahkan. Perbandingan dua besaran A dan B yang sejenis (sama-sama ruas garis, luas dan sebagainya) sama dengan perbandingan dari besar C dan D yang sejenis. Jika terdapat bilangan positif m dan n yang bulat sehingga untuk m A  n B sesuai dengan mC     n D atau A:B = C:D = m:n. teori Eudox ini kemudian dikembangkan oleh Dedekind dan Weierstass.
6.      Buku VI
Buku ini berisi tentang bentuk kesamaan yang disajikan dengan sempurna dan homogen. Penggunaan fakta/keterangan penting seperti pada persamaan kuadrat yang diaplikasikan untuk menghitung luas. Dan metode ini digunakan untuk menentukan luas dari jajaran genjang sehingga diketahui bahwa sudut yang salilng berhadapan memiliki besar yang sama.  Serta dibahas juga mengenai teori-teori tentang  proporsi-proporsi dalam geometri.
7.      Buku VII -  IX
Buku ini membahas tentang teori bilangan yang berisi tentang landasan fakta sederhana dari teori bilangan phytagoras yang sekarang disebut Algoritma Euclid. Yang dapat diketahui dengan pembagian silang untuk menentukan FPB ( faktor persekutuan terbesar) dan KPK (kelipatan persekutuan terkecil). Dalam hal ini juga ditambahkan bukti mengenai keunikan faktorisasi prima menjadi faktor prima, perhitungan pangkat dan akar, penjumlahan deret geometri terhingga dan bukti teori eksistensi pada bilangan prima yang tak terhingga. Selanjutnya telah dijelaskan pada teorema phytagoras mengenai bilangan ganjil dan bilangan genap. Dalam buku ke IX  ditemukan dalil mengenai pembentukan bilangan genap sempurna, seperti 6 = 1+2+3 = jumlah faktor-faktornya. Jika Sn = 2n-1 adalah bilangan prima maka 2n-1.Sn adalah bilangan sempurna.
8.      Buku X
Buku ini berdasarkan pada studi sebelumnya pada Theaetetus, studi nya dimulai dengan penelitian yang lama, Sulit sekali untuk dapat melihat secara keseluruhan karena bentuk yang tidak praktis dan tujuan akhir yang berupa jenis bilangan irrasional.
9.      Buku XI
Buku ini berisi tentang beberapa data yang melibatkan prinsip dualitas yang mengacu pada garis lurus dan bidang. Selanjutnya teorema yang paling penting pada trigonometri dan yang terakhir teorema permukaan yang sejajar
10.  Buku XII
Buku ini berisi tentang perhitungan volume, dilanjutkan dengan membandingkan lingkaran dengan kuadrat diameternya sedangkan bola dengan pangkat tiga dengan diameternya.Kemudian hubungan antara tabung dengan garis tegak pada kerucut, yang semuanya dibuktikan dalam  teori Eudoxian. Namun yang terpenting adalah keberhasilan Euclid dalam menentukan volume piramid.
11.  Buku XIII
Buku ini berdasarkan studi dari Eudoxus yang mengupas fakta mengenai penyelesaian bentuk-bentuk umum pada bangun ruang.

Apa yang penting tentang Euclid 's Elemen adalah paradigma yang ditetapkannya untuk cara bahwa matematika harus dipelajari dan dicatat. Dia mulai dengan beberapa definisi dari terminologi dan ide untuk geometri, dan kemudian ia mencatat lima postulat penting (atau aksioma) dari geometri. Sebuah versi dari postulat ini adalah sebagai berikut:
a.    P1 Melalui setiap pasangan titik berbeda di sana melewati garis.
b.    P2 Untuk setiap segmen ada titik E unik (pada baris yang ditentukan oleh A dan B) sehingga E adalah antara A dan B dan segmen AE dengan segmen EB  adalah kongruen
c.    P3 Untuk setiap titik C dan masing-masing titik A berbeda dari C, terdapat lingkaran dengan pusat C dan CA radius.


d.    P4 Semua sudut kanan adalah kongruen.
Ini adalah empat standar aksioma yang memberikan konsepsi kita tentang Euclidean geometri. Aksioma kelima, topik studi intensif selama dua ribu tahun, adalah paralel yang disebut postulat (dalam formulasi Playfair 's):
e.    P5 Untuk setiap l line dan setiap titik P yang tidak terletak pada l ada m garis melalui P yang unik sehingga m sejajar dengan l.
Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid. Setelah banyak ditemukan cacat pada doktrin Euclid, banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.
Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.
Setelah 700 tahun, Theon dari Alexandria membuat perbaikan dari karya Euclide itu. Karya Theon inilah yang diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Pada tahun 1220, sarjana inggris yaitu Adelard membuat terjemahan dalam bahasa latin dari terjemahan bahasa arab buku itu. Cetakan pertama dari buku Elemen Euclide itu dalam bahasa latin dibuat di Venesia pada tahun 1482 oleh Campanus. Terjemahan pertama dari bahasa Yunani ke dalam bahasa  latin dibuat oleh Commadino    pada tahun 1572. Terjemahan lengkap ke dalam bahasa Inggris  dilakukan oleh Bringsley pada tahun 1570.
  Ia juga mengarang buku-buku lain sebagai berikut:
a.    The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah geometris; dan terkait dengan jilid ke-4 buku The Elements
b.    On Divisions of Figures, menyangkut pembagian bidang geometris menjadi dua atau lebih bagian yang sama atau dengan rasio tertentu.
c.     Catoptrics, menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar pada cermin cekung.
d.    Phaenomena, sebuah risalah astronomi bola.
e.     Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu Euclid mengikuti tradisi Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Hal-hal yang dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di bawah sudut yang lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah sudut yang sama adalah sama.
    Karya – karya lain yang dipercaya merupakan karya dari Euclid tetapi telah hilang adalah sebagai berikut :
1.    Conics adalah sebuah karya tentang kerucut yang kemudian diperluas oleh Apollonius dari Perga. Kemungkinan bahwa empat buku pertama karya Apollonius berasal dari Euclid.
2.    Porisms membahas mengenai kerucut,
3.    Pseudaria, atau Kitab Fallacies, adalah teks dasar tentang kesalahan dalam penalaran.
Kita tahu dari laporan orang lain, misalnya laporan Proclus, ahli filsafat Yunani, yang menulis tentang Euclide kira-kira 700 tahun sesudah Euclide meninggal.
Selain mencetuskan pemikiran-pemikiran mengenai permasalahan geometri, Euclid juga mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga.
Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima. Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).


C.            Sumbangsih  Euclid Terhadap Matematika
Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu. Format yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika. Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan. Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.
Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.
Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina --meskipun berabad-abad lamanya teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa-- tak pernah memiliki struktur matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan.
Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan sendirinya teorinya-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya.
Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku kesohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.


BAB III
SIMPULAN

Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa:
1.    Euclid adalah tokoh ilmu ukur dari Yunani. Dia juga merupakan guru di Iskandaria, Mesir, pada sekitar 300 SM. Seorang matematikawan yang sangat berpengaruh bagi perkembangan matematika dan pemikiran matematikawan lainnya seperti Isaac Newtown.
2.    Karya Euclid yang dikenal antara lain adalah:
The Data, The Elements, On Divisions of Figures, Catoptrics, Phaenomena, Optik
Karya – karya lain yang dipercaya merupakan karya dari Euclid tetapi telah hilang adalah sebagai berikut : Conics ,Porisms membahas mengenai kerucut, Pseudaria, atau Kitab Fallacies, adalah teks dasar tentang kesalahan dalam penalaran
3.    Adapun kontribusi atau sumbangsih Euclid terhadap matematika diantaranya terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku yang mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, bilangan bulat positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi), petunjuk pemecahan masalah,  pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya,

DAFTAR PUSTAKA


Tidak ada komentar:

Posting Komentar