About The Irrational

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang Masalah

Mata pelajaran matematika adalah mata pelajaran yang isi muatannya berkaitan dengan hitung menghitung. Keadaan ini menuntut setiap orang baik itu anak-anak ataupun dewasa hingga tua sekalipun harus teliti dalam berhitung. Tujuannya adalah agar tidak terjadi kesalahan dalam proses menghitung yang berakibat fatal.

Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika di syaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Dalam matematika ada bilangan irasional. Oleh karena itu untuk mengetahui tentang bilangan irasional, dalam makalah ini di cantumkan uraian singkat tentang bilangan irasional.

1.2  Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka rumusan masalah dari makalah ini adalah :

a.       Apa pengertian bilangan irrasional

b.      Bagaimana sejarah timbulnya bilangan irrasional

c.       Siapa saja tokoh-tokoh bilangan irrasional

d.      Bagaimana pembuktian bilangan irrasional

1.3  Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penyusunan makalah ini adalah :

a.       Untuk mengetahui pengertian bilangan irrasional

b.      Untuk mengetahui sejarah timbulnya bilangan irrasional

c.       Untuk mengetahui tokoh-tokoh bilangan irrasional

d.      Untuk mengetahui pembuktian bilangan irrasional

BAB II

PEMBAHASAN

2.1    Pengertian Bilangan Irrasional

Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.

1. Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

2. Untuk bilangan :

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

3. dan untuk bilangan e: = 2,7182818....

2.2  Sejarah Bilangan Irrasional

Sekitar 400 SM, keirasionalan dari rasio tersebut diakui. bukti-bukti keberadaan bilangan irasional  biasanya dihubungkan dengan Pythagoras , lebih khususnya kepada Hippasus dari Metapontum yang terkenal juga sebagai penemu pembangunan dodecahendron biasa, dan juga yang menghasilkan (geometri  paling memungkinkan) bukti irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 . Sampai pada saat penemuan hippasus, para pitagorean mengajarkan bahwa semua bilangan bisa digambarkan sebagai perbandingan dari bilangan bulat. Walaupun hasil penemuannya valid, para pitagorean menganggapnya sebagai penyimpangan agama dan mereka mengucilkan bahkan membunuh hippasus.  

Para Pitagorean adalah masyarakat yang keras dan semua penemuan yang ada ditujukan secara langsung untuk menhargai mereka, bukan individu yang bertanggung jawab atas penemuan mereka. Para Pitagorean sangat tertutup dan rahasia. Mereka besumpah untuk memastikan semua penemuannya untuk masyarakat pitagorean. Mereka mempertimbangkan bahwa seluruh bilangan menjadi Tuhan mereka, dan semua jumlah diterangkan oleh seluruh bilangan dan rasio mereka. Suatu kejadian yang terjadi akan merubah inti dari kepercayaan mereka. Sampai pada saat Pitagorean Hippasus yang telah menemukan bahwa diagonal dari suatu persegi yang sisinya satu satuan unit tidak bisa ditunjukan sebagai keseluruhan bilangan atau sebuah rasio. Oleh karena itu, Teorema Pitagoras yang menjadi awal kepercayaan mereka telah dihancurkan. Dengan demikian, tentu saja mereka tidak ingin penemuan Hippasus tersebut terungkap dan menghancurkan kebanggan mereka dan inti dari kepercayaan mereka.

Di dalam matematika, bilangan irasional adalah sembarang bilangan real yang bukan bilangan rasional. Yaitu bilangan yang tidak bisa dituliskan kedalam bentuk pecahan   , dengan m dan n adalah bilangan bulat, dan n tidak sama dengan nol. Hal ini bisa disimpulkan bahwa mereka juga tak bisa mewakili sebagai bilangan yang berakhir atau desimal berulang.

Cerita berlanjut, Hippasus menemukan bilangan irasional ketika mencoba untuk membuat akar kuadrat dari 2 menjadi pecahan. Namun Pythagoras percaya pada kemutlakan angka, dan tidak bisa menerima keberadaan bilangan irasional. Pitagoras megajarkan bahwa semua bilangan bisa dibuat ke dalam bentuk perbandingan bilangan – bilangan bulat, dan konon katanya penemuan tentang bilangan irrasional telah mengagetkan mereka. Bagaimanapun juga, keterangan yang berkaitan tentang penemuan Hippasus cukup membingungkan. Hipasus selalu mengatakan bahwa pengetahuan tentang bilangan irrasional berasal di dalam sekolah Pitagorean, dan anggotanya yang pertama kali membocorkan rahasia tersebut di binasakan dengan cara ditenggelamkan. Phitagoras tidak bisa menyangkal keberadaan bilangan irrasional melalui logika, tetapi ia tidak bisa menerima bilangan irasional.

Lamblichus memberikan serangkaian cerita yang tidak tetap. Dalam sebuah cerita ada yang menjelaskan bagaimana seorang Pitagorean selalu meniadakan tentang rahasia dari kealamian bilangan irrasional. Tapi kemudian disebutkan bahwa sang legenda Pitagorean yang ditenggelamkan ke laut karena telah memberitahukan pembangunan dodecahedron tetap di dalam sphere. Di dalam cerita yang lain telah diceritakan bahwa Hippasus lah yang telah ditenggelamkan ke dalam laut karena mengkhianati pembangunan dodecahedron dan mengambil penghargaan atas pembangunan ini untuk dirinya sendiri. Tapi di dalam cerita lain juga diberitahukan bahwa hukuman yang sama diberikan kepada Pitagorean yang membocorkan pengetahuan tentang bilangan Irrasional.  Lamblichus dengan jelas mengatakan bahwa ditenggelamkan di laut merupakan hukuman dari Tuhan atas sikap yang tak beriman.

Cerita-crita ini pada umumnya diambil secara bersamaan dan menganggap penemuan bilangan irrasional berasal dari Hipppasus, tapi benar atau tidaknya belum diketahui secara pasti. Pada dasarnya, cerita-cerita tersebut bisa dikombinasikan, semenjak kemungkinan untuk menemukan bilangan irrasional ketika membangun dodecahedron. Keirasionalan, oleh pendekatan pengurangan ketakhinggaan, bisa dengan mudah terlihat di Perbandingan Emas dari segilima beraturan.

Beberapa ilmuwan modern lebih suka menghargai hippasus dengan penemuan keirasionalan √2. Plato didalam Theaetetus nya menjelaskan bagaimana Theodorus dari Cyrene (abad 400 SM) membuktikan keirasionalan dari  √3, √5, dan seterusnya sampai ke √17, yang mengimplikasikan bahwa matematikawan terdahulu telah membuktikan keirasionalan dari √2.

Seperti halnya Plato, Aristoteles dari Stagira (322-384 SM)juga bergelut dalam masalah-masalah dasar matematika, tetapi dia mengalami hal yang sedikit tidak biasa dengan penelitiannya pada waktu itu. Sebuah pembuktian sederhana dari keirasionalan √2 ditandai oleh Aristoteles, dan itu merupakan kumpulan dari dalil yang ditambahkan pada bagian akhir dari buku Euclid yang ke-10, yang mengesankan bahwa pembuktiannya benar-benar kuno. Pembuktiannya merupakan salah satu pembuktian melalui kontradiksi, dan metodenya adalah untuk menunjukkan bahwa, jika diagonal dari sebuah persegi berbanding dengan sisinya, maka bilangan yang sama haruslah keduanya ganjil dan genap.

Ditangan penulis modern kombinasi dari ketidakjelasan cerita kuno ini dan tebakan yang modern terkadang berkembang menjadi cerita yang jauh lebih jelas dan penuh warna. Beberapa penulis mengatakan bahwa hippasus membuat penemuan ini ketika sedang berada diatas papan perahu, karena hasil dari penemuannya teman sekapal pitagoreannya melemparkan dia ke luar kapal; sedangkan penulis lainnya mengatakan bahwa Pitagoras melakukannya sendiri “atas rasa malunya yang kekal” menghukum Hippasus sampai meninggal karena tenggelam, untuk menunjukan bahwa “√2 adalah bilangan irasional”.

Pada abad ketujuh belas, matematikawan umumnya menggunakan pecahan desimal dengan notasi modern. Ini bukan, bagaimanapun, sampai abad kesembilan belas yang matematikawan irrationals dipisahkan menjadi bagian-bagian aljabar dan transendental, dan sekali lagi melakukan studi ilmiah tentang irrationals. Fraksi Lanjutan, terkait erat dengan bilangan irasional (dan karena Cataldi, 1613), mendapat perhatian dari Euler , dan pada pembukaan abad kesembilan belas membawa kekaguman melalui tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange . Kontribusi penting lainnya telah dibuat oleh Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), dan Gunther (1872). Ramus (1855) pertama menghubungkan subjek dengan penentu , yang dihasilkan, dengan kontribusi berikutnya Heine, Möbius , dan Gunther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga ditambahkan ke dalam teori umum, seperti yang banyak kontributor terhadap aplikasi subjek.

2.3  Tokoh-tokoh

a.      Hippasus

Hippasus berasal dari kota Metapontum. Karena ia merupakan anggota sekolah aliran Phytagoras, berarti ia juga pernah tinggal di Kroton. Ia hidup dan berkarya pada abad ke-5 SM, yakni sebelum sekolah aliran Phytagoras ditutup. Selain itu, diketahui juga bahwa ia hidup sezaman dengan Philolaos sehingga diperkirakan ia berkarya sekitar tahun 470 SM.

Menurut sebuah legenda dari sumber-sumber kuno, Hippasus dihukum mati dengan ditenggelamkan di laut oleh para pemimpin aliran Phytagoras karena dianggap sebagai pemberontak. Sebelum penemuan Hippasos, Pythagoras dan pengikutnya menganggap bahwa semua bilangan bersifat rasional, atau dapat dinyatakan dalam perbandingan bilangan bulat. Namun, dengan menggunakan reductio ad absurdum (pembuktian melalui kontradiksi) terbukti bahwa adalah bilangan irasional. Pythagoras tidak dapat membantah pembuktian Hipassus, namun bilangan irasional bertentangan dengan filosofi yang dianut Pythagoras. Phytagoras tidak mau mengakui kesalahan filosofinya, dan menuduh Hippasus sebagai penganut ajaran sesat. Hipassus akhirnya dihukum mati dengan cara ditenggelamkan.

b.      Plato

Plato adalah seorang tokoh dunia, filsuf Yunani klasik yang sangat berpengaruh, Ia murid Socrates, guru dari Aristoteles, seorang penulis produktif, dan pendiri Akademi Athena. Ia adalah pelopor filosof politik Barat dan sekaligus dedengkot pemikiran etika dan metafisika. Pendapat-pendapatnya di bidang ini sudah terbaca luas lebih dari 2300 tahun. Plato, seorang philodorian, kuliah secara intensif di Akademi, dan banyak menulis tentang masalah filsafat. Eksistensinya bertahan melalui tulisan populernya yang dipertahankan dalam berbagai manuskrip, disunting dalam berbagai edisi dan terjemahan. Tulisan Plato berjudul corpus hampir seluruhnya berupa dialog, epigram dan huruf. Plato lahir di Athena sekitar tahun 427 SM, dari keluarga bangsawan cukup terkenal. Ayahnya bernama Ariston dan ibunya Perictione. Nenek moyang Plato, Glaucon, adalah salah satu bangsawan paling terkenal di Athena. Nama asli Plato adalah "Aristocles" yang mendapat julukan Plato, yang berarti pegulat. Julukan ini mungkin berasal dari postur tubuhnya yang cocok menjadi atlet gulat.

Sebagai seorang pemuda Plato memiliki ambisi politik, tetapi ia kecewa terhadap sikap dan perilaku para pemimpin politik di Athena. Dia akhirnya menjadi murid Socrates, belajar filosofi dasar dan gaya dialektis dari perdebatan: mengejar kebenaran melalui pertanyaan, jawaban, dan pertanyaan tambahan. Tahun 399 SM, Socrates diseret ke pengadilan dengan tuduhan tak berdasar yaitu merusak akhlak generasi muda Athena. Socrates dihukum mati. Hal ini membuat plato sangat membenci pemerintahan demokratis. Plato menyaksikan kematian Socrates di tangan demokrasi Athena pada 399 SM. Mungkin takut untuk keamanan sendiri, ia meninggalkan Athena untuk sementara waktu dan melakukan perjalanan ke Italia, Sisilia, dan Mesir.

Pada tahun 387 Plato kembali ke Athena dan mendirikan Akademi, lembaga pendidikan yang sering digambarkan sebagai universitas pertama di Eropa. Sebuah akademi yang berjalan lebih dari 900 tahun yang memperkenalkan kurikulum yang komprehensif, termasuk mata pelajaran seperti astronomi, biologi, matematika, teori politik, dan filsafat. Aristoteles adalah mahasiswa Akademi paling menonjol. Tulisan-tulisan Plato banyak berupa dialog; ide-ide filsafat yang canggih. Pengumpulan karya Plato yang paling awal terdiri 35 dialog dan 13 huruf. Keaslian dari beberapa dialog dan sebagian besar tulisannya hingga kini masih diperdebatkan. Plato menghabiskan sisa umurnya yang empat puluh tahun di Athena, mengajar dan menulis tentang filsafat. Muridnya yang masyhur, Aristoteles, yang jadi murid akademi di umur tujuh belas tahun sedangkan Plato waktu itu sudah menginjak umur enam puluh tahun. Ia meninggal pada sekitar usia 80 di Athena pada 348 atau 347 SM.

Plato menulis tak kurang dari tiga puluh enam buku, kebanyakan menyangkut masalah politik dan etika selain metafisika dan teologi. Karya Plato yang paling terkenal tertuls dalam buku yang berjudul Republik. Buku ini berisi gagasan Plato mengenai pemerintahan yang paling ideal. Menurut Plato pemerintahan yang baik seharusnya dipegang oleh Aristokrat, yaitu seorang pemimpin terbaik terbijak dan orang pilihan dari suatu Negara. Pemilihan pemimpin sebaiknya tidak melalui pemungutan suara, tetapi melalui proses keputusan bersama yang ditetapkan oleh guardian. Guardian sendiri berarti kumpulan para penguasa dan pemimpin masyarakat. Plato mengajarkan bahwa bagi semua orang, baik lelaki atau perempuan seharusnya memiliki hak yang sama untuk menjadi pemimpin, sehingga ia filosof pertama yang mengusulkan persamaan kesempatan tanpa memandang jenis kelamin. Untuk membuktikan persamaan pemberian kesempatannya, Plato menganjurkan agar pertumbuhan dan pendidikan anak-anak dikelola oleh negara. Anak-anak pertama-tama harus memperoleh pendidikan yang layak. Republik terbaca luas selama berabad-abad. Tetapi sistem politik yang dianjurkan didalamnya belum pernah dipraktekkan sebagai model pemerintahan di Negara manapun. Selama masa antara jaman Plato hingga kini, umumnya negara-negara Eropa menganut sistem kerajaan. Di abad-abad belakangan ini beberapa negara menganut bentuk pemerintah demokratis. Ada juga yang menganut sistem pemerintahan militer, atau di bawah tiran totaliterisme seperti Hitler dan Mussolini. Tak satu pun pemerintahan-pemerintahan ini punya kemiripan dengan republik ideal Plato. Teori Plato tak pernah jadi anutan partai politik mana pun, atau jadi basis gerakan politik seperti halnya terjadi pada ajaran-ajaran Karl Marx.

2.4  Pembuktian Bilangan Irrasional

Dasar dari banyaknya kasus khusus, dan yang berlaku umum untuk sisi miring segitiga, harus dianggap sebagai prestasi dari sekolah italia, sekumpulan segitiga siku-siku dibangun, yang sisi-sisinya adalah bilangan bulat, yaitu:  (n menjadi ganjil). Harapan untuk dapat "merasionalisasi" setiap segitiga dengan cara ini terbukti salah. Perkiraan rasio antara diagonal dan sisi-sisi lainnya, yaitu √ 2:1, dengan pecahan 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, dll.  cenderung mendekati √ 2 yang lebih tepat dari kedua sisi (nomor menghasilkan dapat diperoleh dari identitas geometris dengan mudah terbukti.

Dengan  menunjukan keberadaan perbandingan lurus irrasional, Arithmetica universalis terpecahkan oleh Eudoxus dari Cnidus (408?-355? S.M) meskipun meneruskan pendalaman ide dari Anaxagoras yang jenius dalam teori  geometri perbandingan yang merupakan kasus spesial yang telah bertahan lama. Dia memulai dari aksioma pengukuran (hubungan timbal dua jarak dapat terjadi semata-mata jika perkalian terkecil dari keduanya lebih besar dari salah satunya) dan dengan cara yang sama dua perbandingan a : b dan c : d terjadi jika m dan n dua bilangan prima satu sama lain maka hubungan manb atau manb akan menyebabkan mcnd atau mc nd. Pendekatan yang sama dipakai oleh Eudoxus dengan pertimbangan yang tidak cukup kecil yang memungkinkan ahli matematika menenerima  usulannya. Diberikan perbandingan daerah lingkaran  f dengan kuadrat diameternya,  (tercatat pada Euclids Elements, XII, 2). Diberikan juga dua lingkaran homolog yaitu f dan  yang memili keteraturan polygon yang sama satu sama lain  berturut-turut kita temukan bahwa . Jika  tidak sebanding dengan dengan   misal , ( menandakan daerah yang tidak lebih dari ) yang memungkinkan sampai kepada penggandaan sudut, dengan  maka  bertentangan dengan konstruksi sebenarnya. Dengan cara yang sama terbukti bahwa  salah. Maka yang mungkin benar hanya  . Eudoxus menerapkan cara yang sama untuk menunjukan perbandingan volume dari permukaan bola dengan kubus dari diameter dan cara yang benar juga dari Democritus untuk menentukan volume pyramid. Untuk menambah kekayaan dua geometris Dia menggunakan dua kurva yang lebih tinggi (tidak dijelaskan lebih mendalam) dan mungkin konstruksi geometri-mekanik menggunakan dua sudut siku-siku yang diteruskan penerusnya yang disebut “Platonic”. Permasalahan yang nyata dari pergerakan planet membawanya kepada perpotongan kurva pada tabung, yaitu +, dengan tangent permukaanya, + Dia mengatakan telah menuliskan pada buku teks pertamanya steriometri.

Inti permasalahannya:

Ini merupakan pembuktian kontradiktif dari keberadaan bilangan irrasional dengan menggunakan perbandingan lurus geometri pada dua lingkaran, yaitu f dan f’ dan polygonnya yaitu   (n bilangan bulat yang menunjukan jenis polygon) yang memenuhi  . Suatu bilangan irrasional ada jika memenuhi perbandingan . Jika  tidak sebanding dengan dengan   , misal , ( menandakan daerah yang tidak lebih dari ) yang memungkinkan sampai kepada penggandaan sudut, dengan  maka  bertentangan dengan konstruksi sebenarnya. Dengan cara yang sama terbukti bahwa  salah. Maka yang mungkin benar hanya  .

Pembuktian lain ke irasionalan √2

Pembuktian dengan menggunakan kontradiksi membuktikan ke irasionalan √2 sebagai berikut:

1.      Ambil sebarang segitiga siku-siku yang sisi-sisi pendeknya adalah 1 satuan panjang. Berdasarkan teorema pitagoras, diagonalnya adalah √2

2.      Andaikan bahwa √2 adalah perbandingan antara dua bilangan asli,

3.      Andaikan  telah dikurangi oleh bentuk pecahan terkecil dari bentuk pembagian

4.      Hal itu berarti m dan n keduanya adalah ganjil, atau m adalah ganjil atau n genap, atau m adalah genap, dan s adalah ganjil (kalau tidak, kita harus mengurangi  bahkan selanjutnya oleh pembagian kedua bilangan oleh 2)

Kedua sisi persegi dari , sehingga

5.      Kemudian 2n²=m² sehingga m² adalah genap, oleh karena itu m haruslah genap

6.      Jika m genap, maka m = 2x, dengan x sebarang bilangan asli yang lain

7.      Jika di kuadratkan, hasilnya adalah m²=4x²=2n²

8.      Dengan begitu n²=2x² , dan oleh karena itu n²  adalah genap, hal ini berarti bahwa n adalah bilangan asli dan harus genap

9.      Jadi kita telah mencapai kontradiksi : walaupun kita mengasumsikan bahwa m dan n tak bisa keduanya genap, tapi mereka tetap genap. Oleh karena itu berdasarkan pembuktian diatas   tidak bisa dibentuk sebagai perbandingan dua buah bilangan asli, oleh karena itu dia haruslah berada di himpunan bilangan yang lainnya.

 

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

      Berdasarkan pembahasan diatas maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1.      bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol.

2.      Sekitar 400 SM, irasionalitas dari rasio tersebut diakui. bukti-bukti keberadaan bilangan irasional  biasanya dihubungkan dengan Pythagoras , lebih khususnya kepada Hippasus dari Metapontum yang terkenal juga sebagai penemu pembangunan dodecahendron biasa, dan juga yang menghasilkan (paling mungkin geometri) bukti irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 .

3.      Beberapa tokoh penemu bilangan irrasional adalah Hippasus, Plato, dan Theodorus.

4.      Pembuktian bilangan irrasional dapat dilakukan dengan kontrdiktif pada bangun geometri

 

DAFTAR PUSTAKA

Prof.Drs.J.Sitorus, Pengantar Sejarah dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah, Tarsito, Bandung : 1990.

http://www.biografitokohdunia.com/2011/03/biografi-plato.html [ 16 maret 2012 ]

http://www.wikipedia.com [ 12 maret 2012 ]