Senin, 27 Mei 2013

Cara Mengajar Matematika, Bagaimana?

Bagaimana sih cara mengajar matematika itu? Bila pertanyaan ini diajukan ke guru matematika, tentunya akan dapat jawaban berdasarkan pengalamannya. Bila pertanyaan ini diajukan pada guru, yang bukan guru matematika, kemungkinan besar masih dapat jawaban juga berdasarkan pengalamannya mengajar bidang lain (ia akan mereka-reka, menganalogikan cara mengajarnya pada cara mengajar matematika). Namun, bila pertanyaan ini diajukan ke sembarang orang yang bukan guru, apa jawabannya? Tentunya mereka juga bisa menjawab berdasarkan pengalamannya ketika menjadi siswa di sekolah. Pertanyaan ini hampir mustahil bisa dijawab oleh orang yang sama sekali tak pernah sekolah atau mengenyam pendidikan, mereka ini hampir dipastikan tak kenal dengan “mahluk” yang namanya matematika.Baiklah, bila pertanyaan itu diajukan ke saya. Apa jawaban saya? Sebentar, sebelum saya jawab, saya akan menjawab pertanyaan ini dengan memposisikan diri sebagai: (1) siswa yang pernah belajar matematika, ini bagian yang akan paling sering saya gunakan untuk menjawab karena saya pernah belajar matematika sejak SD; dan (2) guru, yang pernah belajar mengajar matematika.Jawaban saya itu begini. Hingga saat ini, kata beberapa literature dan para ahli, tak ada cara terampuh yang dapat digunakan untuk mengajar matematika secara efektif. Cara apapun yang digunakan ada kelebihan dan ada kelemahannya. Yang saya maksud “cara mengajar” di sini bisa meliputi metoda/teknik mengajar atau pun pendekatan mengajar (lebih tepatnnya pembelajaran). Apa itu saja jawaban saya terhadap pertanyaan tersebut?Yang saya pahami, orang bertanya tentang cara mengajar itu, artinya bagaimana sih sebenarnya agar tujuan pembelajaran matematika itu tercapai? Tujuan pembelajaran matematika yang saya maksud, ada dua hal. Tujuan jangka pendek, disebut juga tujuan materil dan tujuan jangka panjang. Tujuan jangka pendek pembelajaran matematika, sederhananya, adalah bahwa, siswa diaharapkan dapat memahami materi matematika yang dipelajarinya dan dapat menggunakannya pada pelajaran lain atau pada kehidupan (praktis) nyata dan bekal untuk jenjang pendidikan selanjutnya. Sedangkan tujuan jangka panjang pembelajaran matematika, sederhananya, adalah bahwa siswa itu dapat mengambil “nilai-nilai matematika” dan mengaplikasikannya untuk kehidupan. Nilai-nilai matematika yang saya maksud meliputi: penalaran, kedisiplinan = ketaat-azas-an, kejujuran, kebertanggungjawaban, kesetiakawanan, keimananan, dsb.Setidaknya ada beberapa hal yang perlu diperhatikan agar tujuan pembelajaran matematika itu dapat tercapai.Pertama: Gurunya itu sendiri bagaimana?Apakah sang guru/pengajar, yang akan mengajarkan matematika itu, kompeten, layak, sesuai keahliannya? Seorang guru/pengajar matematika dikatakan kompeten bukan hanya teruji dari kemampuannya saja dalam menguasai materi. Tapi juga apakah ia mampu menyampaikan materi itu pada orang lain, siswa? Syarat minimal seseorang (guru, pengajar) bisa menyampaikan materi yaitu, bisa bicara di depan siswa untuk menyampaikan apa yang dipahaminya. Banyak yang mengerti dan paham tentang matematika, namun sukar untuk bisa menyampaikannya ke orang lain. Hal ini pernah saya saksikan sendiri ketika jadi siswa. Tapi, saya percaya, pada guru yang mampu menyampaikan materi matematika dengan baik, pemahamannya saya fikir baik juga.Dengan demikian, penguasaan materi dan kemampuan menyampaikannya (ke orang lain) adalah syarat perlu untuk mampu mencapai tujuan pembelajaran matematika, tapi ingat ini belum cukup. Belum cukup menjamin bahwa tujuan pembelajaran matematika itu akan tercapai.Seorang guru/pengajar yang pemahaman materinya dan penyampainnya bagus pun masih perlu belajar, memperkaya diri dengan banyak membaca, tak berpuas diri dengan kemampuan yang sudah dimiliki, dan tentunya perlu melakukan persiapan sebelum pembelajaran. Sehebat apapun seorang guru, bila mengajarnya tidak dipersiapkan, saya pesimis tujuan pembelajaran itu akan tercapai. Bagaimana dengan yang sudah berpengalaman? Ya, tanpa kecuali.Kedua: Siswanya itu bagaimana?Yang perlu diperhatikan oleh seorang guru/pengajar, yang akan mengajar matematika, adalah bahwa: siswa yang belajar matematika itu kemampuannya beragam. Ada yang cepat menangkap pelajaran, ada yang biasa saja, dan ada yang kurang cepat. Mereka semua, pastinya ingin bisa matematika yang mereka pelajari.Oleh karena itu, kita, selaku guru yang mengajar, tak boleh menganggap kemampuan mereka sama dengan kemampuan kita. Maksudnya, jangan menganggap pemahaman mereka, pada saat kita mengajar mereka, sama dengan pemahaman kita yang sudah belajar sebelumnya. Kebanyakan dari mereka (siswa) perlu waktu yang relatif lebih lama dibanding kita yang sudah belajar, yang sudah mengenal materi sebelumnya, yang sudah pengalaman sebelumnya, yang sudah mahir sebelumnya, dan yang sudah pandai sebelumnya. Jadinya, bila menerangkan, jangan terlalu cepat pun jangan terlalu lamban. Ini juga bukan berarti menganggap remeh kemampuan siswa. Seringkali yang terjadi, guru menerangkan dengan tempo yang sangat cepat, sesuai kecepatannya dalam memahami materi, kurang memperhatikan apakah siswanya dapat mengikutinya atau tidak. Guru menerangkan seenaknya saja. Tindakan seperti ini, kemungkinan besar hanya bisa diikuti oleh sebagian kecil siswa saja, hanya yang pandai saja. Sedangkan sebagian besar siswa lain (saya perkirakan sekitar 90 %), akan merasa terseret-seret, tak sanggup mengejar kecepatan guru dalam menerangkan.Mungkin penjelasan ini sulit dipahami oleh mereka (guru/pengajar atau siapapun) yang (sangat) pandai matematika, yang belum pernah merasa kesulitan dalam belajar matematika. Bagi orang-orang semacam ini, mereka selalu menganggap bahwa pemahaman siswa yang diajarnya sama dengan dirinya yang sudah pandai itu. Biasanya, bila mereka berhadapan dengan siswa yang kurang cepat dalam belajar, akan menganggap “bodoh” ke siswanya. Ungkapan-ungkapan semacam mengumpat dan mencela ke siswanya, seringkali sulit terhindari. Misalkan ada siswa SMA yang tak bisa menentukan nilai x yang memenuhi persamaan “x + 1 = 3″. Guru yang termasuk golongan ini, kemungkiann besar akan berkata “Masa sih gitu aja engga bisa?” “Ngerjain soal yang dasar begitu aja engga bisa, kenapa kamu bisa lulus SMP?”, “Cape deeeeeh“, dsb. Tapi, bagi saya, kata-kata semacam ini bukanlah kata-kata yang pantas keluar dari seseeorang yang dinamakan guru (pendidik)/pengajar. Guru/pengajar semacam ini tak dapat memposisikan dirinya pada diri siswa yang diajarnya, pada siswa yang ingin belajar, pada siswa yang ingin mengerti dengan apa yang dipelajarinya. Ia “membunuh” siswanya secara perlahan.Kesal, kecewa, jengkel terhadap siswa kita yang engga ngerti-ngerti itu biasa, manusiawai. Nah, di sinilah letak diperlukannya jiwa kesabaran, ketabahan, rasa kasih sayang dan empati pada siswa kita yang sedang belajar. Ingat, mereka juga manusia yang perlu diperlakukan secara manusiawi, perlu dihargai. Bagaimanapun kemampuan mereka.Oleh karena itu saya mengajak pada bapak dan ibu guru atau siapapun pengajar matematika untuk memposisikan diri kita pada posisi siswa. Bayangkan bila Anda tak mengerti akan sesuatu, padahal Anda ingin sekali mendapat penjelasan yang sejelas-jelasnya tentang sesuatu itu, karena Anda ingin bisa. Bayangkan pula, bagaimana perasaan Anda, bila yang menjelaskannya sangat cepat, kurang memperhatikan Anda, tak mempedulikan Anda bisa mengerti atau tidak. Pastinya, sakit rasanya, pedih hati Anda dibuatnya, saya (insya Allah) jamin Anda pasti merasa sengsara, Anda akan merasakan yang namanya penderitaan batin. Rasanya, tak bisa dibayangkan, sengsara seumur-umur. Anda akan merasa bodoh, minder, takut, dan sebagainya. Nah, siswa juga SAMA seperti Anda yang butuh mengerti sesuatu (dalam hal ini Matematika).Oh iya, banyak juga guru yang hanya memperhatikan siswa-siswanya yang pandai saja. Siswa yang pandai dijadikan tolak ukur apakah yang ia sampaikan itu dapat diikuti atau tidak. Guru semacam ini asyik menjelaskan, asyik menyampaikan materi. Untuk mengecek apakah siswanya mengerti atau tidak, ia hanya mengecek pada siswa yang pandai saja. Akibatnya, banyak siswa lain tak dapat mengikuti pembelajaran, siswa lain tak mengerti materi yang mereka pelajari.Dengan memperhatikan hal ini, seharusnya kita, selaku guru introspeksi diri, apakah kita sudah bener ngajarnya atau belum? Sudah memperhatikan kondisi dan kemampuan siswa atau belum? Jangan-jangan, banyaknya siswa yang tak mengerti itu gara-gara kita tak memperhatikan mereka, kurang peka terhadap mereka, gara-gara kita masa bodoh apakah mereka mengerti atau tidak, yang penting kita sudah mengajar saja, sebodo amat mereka mau mengerti atau tidak, dan sebagainya.Ketiga: Sarana dan prasarana pembelajarannya bagaimana?Hal ini pun sedikit banyaknya berpengaruh terhadap tercapainya tujuan pembelajaran. Yang saya maksud sarana dan prasaran di sini bisa meliputi: kelayakan tempat belajar (ruang kelas, ada-tidaknya laboratorium, dsb), ketersediaan alat-alat belajar (papan tulis, buku text, dsb), ketersediaannya media pembelajaran, dlsb.Yang keempat, apa ya? (Silakan ditambahi sendiri! Tulisan ini masih dalam proses pemikiran, jadinya kapan saja bisa saya perbaharui).Lho, cara mengajarnya bagaimana sih sebenarnya? Kok dari tadi belum diperjelas?Sekali lagi saya tegaskan, berdasarkan literature dan pendapat para ahli, tak ada cara mengajar matematika terbaik/terampuh? Dengan demikian, sederhanyanya begini saja dulu, lakukan saja cara mengajar yang selama ini sudah bisa Anda lakukan! Namun perhatikan dan pertimbangkan beberapa hal yang sudah dituliskan di atas, silakan kalau perlu lengkapi dengan hal-hal yang luput dari perhatian saya. Silakan Anda pakai metode apapun, misalnya ceramah (toh ini yang paling banyak dipakai dan digemari guru-guru matematika di Indonesia, bahkan juga di dunia mungkin?), silakan juga metode-metode lama atau terbaru lainnya. Semua metode ataupun pendekatan pembelajaran, masing-masing punya keistimewaan. Metode atau pendekatan apapun yang Anda pakai, bila dioptimalkan, niscaya tujuan pembelajaran matematika yang diidam-idamkan itu, insya Allah, dapat dicapai.Pada kesempatan lain (di artikel lain mungkin), insya Allah saya akan tuliskan bagaimana cara mengajar matematika dengan menggunakan metode atau pendekatan tertentu. Yang sedang saya pelajari sekarang, insya Allah hingga satu setengah tahun kedepan, adalah tentang pendekatan RME (Realistic Matematics Education).Wahai pembaca sekalian, menurut Anda bagaimana?

Rabu, 22 Mei 2013

CALCULUS FOR MY LIFE

Kalkulus merupakan sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi Fisika dan Teknik (Engineering). Dalam ilmu kalkulus materi yang dapat kita pelajari antara lain:
1. differensial
2. integral
3. integral dan diferensial terapan
4. dll.
Pada dasarnya ketika kita mempelajari Kalkulus maka yang terbesit dalam hati atau terpikirkan oleh kita adalah angka-angka yang menjelma menjadi sebuah momok menyeramkan bagi kita dan tak jarang pula terpikirkan oleh kita bahwa untuk apakah kita mempelajari kalkulus? Oleh karena itu dalam makalah ini akan dijelaskan sedikit tentang guna kalkulus bagi kehidupan sehingga kita dapat melihat kalkulus sebagai suatu yang menyenangkan dan dapat membimbing kita.

Baiklah pada kali inii akan kita bahas kegunaan kalkulus dalam empat bidang yaitu :
A. Bidang Agama
Memang Kalkulus identik dengan angka karena setiap materi kalkulus tak akan lepas dari angka. Namun jika kita pikirkan lagi dan mengintegrasi-interkoneksikan antara kalkulus dengan kehidupan kita maka kita akan akan mendapatkan banyak hal yang sangat berharga bagi diri kita untuk menjalani hidup ini.
1. Mempelajari Kalkulus ( khususnya terntang penerapan kalkulus dalam menghitung volume benda ) dapat memberikan pemahaman kepada kitra tentang konsep menentukan pilihan dalam menjalani kehidupan ataupun kebimbangan pada saat memutuskan suatu hal ( perkara ). Sebagai contoh adalah ketika kita mempelajari atau mengerjakan soal tentang volume menggunakan penghitungan “integral” baik yang diputar mengelilingi sumbu x ataupun sumbu y, kita dapat menghitungnya menggunakan beberapa cara yang ada seperti cakram, cincin ataupun kulit tabung.
B. Bidang Pendidikan
Meningkatkan minat baca
Percayakah anda bahwa mempelajari kalkulus dapat meningkatkan minat baca ? Jika anda tidak percaya, wah sayang banget tuh.Baiklah swedikit penjelasan tentang itu, ketika kita mempelajari kalkulus maka secara alamiah kita akan mengalami banyak kesulitan-kesulitan, nah beranngkat dari sinilah kalimat di atas muncul. Dengan kata lain bahwa kesulitan yang kita dapat akan memberikan makna tersendiri karena dengan itu semua maka rasa penasaran yang mendalam akan muncul. Oleh kareana itu ketika kita merasakan penasaran maka secara otomatis akan ada ussaha dari dalam diri kita untuk melakukan hal-hal yang dapt membantu menghilangkan rasa penasaran itu dan salah satunya adalah banyak membaca buku kalkulus, jadi kita akan membaca terus buku itu sampai kita mengerti dan dapat menghilangkan rasa penasaran. Sehingga kerana kebiasaan membaca buku itulah jadi akan tertanam dalam diri kita hobi membaca itu.
Lebih Dewasa
Penjelasan untuk yang satu ini hampir hampir sama dengan penjelasan dari segi keagamaan. Jadi ketika kita mempelajari kalkulus kita selalu dituntut untuk dapat mancari cara terbaik untuk mengerjakan soal, karena jika salah cara dalam mengerjkannya, mkaka akan banyak kesulitanm yang menghampiri kita. Sehingga berangkat dari hal itulah secara tidak langsung mempelajari kalkulus dapat membuat kita loebih dewasaa untuk memandang kerhidupan karena jika kita salah jalan maka kita akan rugi sendiri.
Meningkatkan gairah belajar
Dalam hal ini, sepertinya sudah sangttlah jelas bahwa mempelajari kalkulus dapat meningkatkan minta/gairah belajar pada diri seseorang. Sebagi penjelasan, ketika kita mempelajari kalkulus dan mendapatkan kesulitan yangsecara lamiah muncul, jika kita menyadarinya (sadar) maka akan timbul dalam hati kita suatu kata hati “ko saya ga bisa ya, padahal yang lain bisa”, sehingga dengan demikian akan muncul usaha yang kita lakukan untuk lebih baik dan yang pastikan dengan selalu belajar (mempelajarinya)
Meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi
Dalam hal ini yang dimaksudkan meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi adalah lebih kepada sang pendidik. Dalam memberikan materi yang diajarkan dalam kalkulus seorang pendidik dituntut untuk lebih kreatif lagi dalam menyampaikan materi yang akan disampaikan hal ini dikarenakan tingkat kesulitan kalkulus yang menurut rata-rata pelajar adalah cukup tinggi sehingga seorang pendidik dalam menyampaikan diharuskan untuk dapat membuat suasana lebih enjoy atau mengasyikan dan salah satu caranya adalah seorang pendidik diharuskan memiliki keaktifan dalam komunikasi atau singkatnya seorang pendidik harus labih kreatif dalam menyampaikan materi ajarnya.
C. Bidang Sosial
Salah satu manfaat mempelajari kalkulus dalam kehidupan sosial adalah mempererat silaturahmi antar individu. Di atas sudah dijelaskan bahwa ketika kita mempelajari kalkulus maka sudah secara alamiah kita akan banyak mengalami kesulitan, sehingga dari hal ini pula (dengan ketidaktahuan) maka kita akan selalu bertanya kepada teman yang lebih tahu daripada kita, sehingga akan terjalin suatu komunikasi antara kita dengan teman yang kita tanya tadi sebagai proses keakraban. Dari sini sudah jelas akan terjalin suatu hubungan yang akrab dan dapat mempererat silaturahmi antar individu tersebut . lalu manfat lain kalkulus dalam bidang social selain mempererat silahturahmi antar individu adalah dalam aplikasi lansung dalam masyarakat, misalkan penerapan dalam penghitungan warisan, zakat dan sebagainya.
Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna/ bermanfaat, dengan mempelajari kalkulus banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan . Oleh karena itu, sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap kalkulus. Kita ubah pandangan kita yang menganggap kalkulus adalah pelajaran yang sulit dan hanya membuat kepala pusing dengan menganggap kalkulus adalah pelajaran yang mengasyikan dan menyenangkan. Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan, manfaat lain selain mahir menghitung, lebih teliti dari mempelajari kalkulus antara lain: menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebih berhati-hati dalam memutuskan suatu hal (adil), meningkatkan minat baca, meningkatkan semangat belajar, jadi lebih dewasa, mempererat silaturahmi antar individu dan masih banyak lagi yang lainnya seperti:meningkatkan kesqabaran, istiqhamah. Oleh karena itu, kalkulus itu asyik jadi jangan anggap kalkulus itu seekor monster yang menyeramkan dan ganas.
“Kita pasti bisa jika kita berusaha untuk memahaminya”.
“Every Why has a wherefore”
firma Allah SWT dalm surat Al-Insyirah ayat 5:
5. Karena Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan,

Selayang perkembangan angka nol

Nol sebagai wakil dari kosong terutama dalam kalender yang berkembang di Meksiko tengah bagian selatan. Selain itu juga, nol dipakai dalam sistem bilangan vigesimal atau 20-angka di meksiko. Di Eropa, perkembangan nol menjadi bagian integral dari angka Maya, tetapi tidak mempengaruhi sistem angka Eropa. Sedangkan di Cina, perkembangan nol bermula dari berhitung menggunakan tongkat sejak abad ke-4 SM, namun mereka memahami perhitungan negatif dan perhitungan nol, namun tidak dapat menyimbolkan.

The Nine Chapters on the Mathematical Art Cina adalah buku matematika pada abad ke-1 M, yang kemudian disalin dalam teks Cina. Yang isinya, bahwa Ptolemy dipengaruhi Hipparcrus dan Babilon, dalam menggunakan simbol untuk nol (lingkaran kecil dengan panjang overbar) dalam sistem angka sexagesimal pada abjad angka Yunani.Nol juga pernah digunakan dalam tabel angka Romawi oleh Dionysius Exiguus. Yang awalnya angka Romawi tersebut berasal dari sistem Roma Kuno, yang diadaptasi dari angka Etruscan.

India yang menggunakan angka desimal dalam hitungan, termasuk nol, merupakan teks Jain, yang dijelaskan dalam buku berjudul Lokavibhâga pada 458 AD, yang menggunakan bahasa Sanskrit (angka untuk angka). Dalam teks tersebut diperkenalkan penggunaan khusus Glyphs pada tampilan simbol angka nol yakni lingkaran kecil yang ditemukan di prasasti Candi Chaturbhuja di Gwalior India pada 876 TM. Angka India dan posisi sistem bilangan diperkenalkan kepada peradaban Islam oleh al-Khawarizmi sebagai konstribusi pemikiran matematika. Karya terkenalnya adalah Al-Jabr wa-al-Muqabilah. Ia menjelaskan penggunaan nol, sebuah angka penting untuk dikembangkan orang India.

Kemudian, pada abad ke-12, sistem angka India pada Aritmatika diperkenalkan ke dunia Barat melalui terjemahan bahasa Latin.

Matematika adalah pilihanku

Kita sebenarnya belajar buka mempelajari apa-apa, tapi kita hidup untuk mempelajari hidup kita. Kaitan dalam mempelajari matematika, kita aka menemuhi simbol-simbol dan angka-angka. Nah inilah yang namanya dunia matematika, untuk itu marilah kita memahaminya. Betapa pentingnya matematika dalam kehidupan kita.

Berefleksi ke penerapan betapa pentingnya belajar matematika. Fenomena yang terjadi di masyarakat, bahwa matematika di anggap sebagai disiplim ilmu yang mengerika, dimana setiap peserta didik tidak jarang yang menemuhi dengan mata pelajaran matematika ketakutan seperti ada hantu.

Mari kita introspeksi bersama, bahwa siapa yang membuat kita takut dengan matematika. Khususnnya ketika belajar dibangku belajar. Sebuah pertanyaan, apakah yang menakutkan itu matematikanya atau yang mengajarkan matematika? jika kita bisa menjawab ini dengan cermat tentunya kita sangat akrap sekali dengan matematika. Ketahui bahwa, karakteristik matematika sangat universal sekali, dia bisa masuk ke dalam seluruh bidang keilmuan, begitu penting sekali matematika bagi hidup kita dan saya mengajak anda semua yang membaca ini, akan semakin cinta dengan matematika.

CARA MUDAH BELAJAR MENCINTAI MATEMATIKA

Matematika merupakan pelajaran yang paling ditakuti oleh kebanyakan orang. Hal ini membuat pelajaran yang satu ini dibenci oleh banyak orang. Padahal pelajaran ini benar benar berguna bagi kehidupant kita sehari hari, bahkan bagi orang biasa sekalipun. Para pedagang, tukang Las, tukang bangunan bahkan tukang parkir pun butuh matematika untuk menghitung uang recehan yang ia dapatkan dari pengendara yang memarkirkan kendaraannya. Matematika adalah kunci dari semua pelajaran sains, baik itu Fisika, Ekonomi, Akuntansi dan Kimia karena pelajaran tersebut tidak akan dapat kita pahami tanpa mempelajari terlebih dahulu dasarnya yaitu matematika. Namun yang jadi permasalahan sekarang adalah, bagaimana cara belajar yang baik agar kita dapat menguasai ilmu matematika ini? Harus diingat bahwa tidak cara mudah untuk menguasai matematika ini. Yang ada adalah Cara yang benar dalam belajar matematika. Dibutuhkan kesabaran dan kegigihan yang tinggi untuk berusaha, tapi dengan niat yang kuat saya yakin kita bisa menguasai pelajaran matematika. Ada beberapa tips yang bisa kita tempuh agar kia bisa menguasai Matematika:

1. Luruskan Niat
Hal pertama yang harus kita lakukan adalah "Meluruskan Niat" dalam belajar matematika, janganlah kita belajar matematika hanya untuk mendapatkan nilai yang bagus sebagai syarat lulus mata ujian Matematika. Karena hal ini berarti jika kita telah melewati ujian/test, maka kita akan meninggalkan dan melupakan materi yang telah kita pelajari tersebut. Niatkan belajar matematika untuk menambah pengetahuan kita. Karena dengan belajar matematika, daya nalar otak kita akan terasah dengan baik sehingga mudah untuk menerima pelajaran yang lainnya. Ingat sekali lagi, jangan hanya berorientasi kepada Hasil ujian, tapi berorientasilah pada Proses belajarnya..


2. Kenali, pahami lalu Cintai keindahan matematika
Point ini merupakan poin yg paling penting dalam belajar matematika. Akan sangat mudah mempelajari sesuatu jika kita mencintainya terlebih dahulu. Bagaimana mau mencintai matematika jika kita tidak mengenalnya? maka langkah kedua adalah kita harus mengenal apa itu matematika, apa fungsi matematika bagi kehidupan sehari hari. jika kamu sudah mengenalnya, maka kamu akan tahu bahwa matematika memang sangatlah dibutuhkan dalam kehidupan sehari hari, contoh sederhananya, ketika tukang bangunan membuat sebuat Fondasi rumah, maka dia harus menghitungnya secara teliti agar pondasinya tidak timpang, maka digunakanlah beberapa rumus matematika. bahkan ketika kita menghitung uang jajan kita, maka kita harus menghitungnya menggunakan matematika bukan? Sungguh tak mungkin kita bisa hidup jauh dari matematika. Maka Tanamkanlah dalam pikiran kita bahwa matematika itu sesuatu yang berguna, indah, menarik dan sebagai teka-teki yang menyenangkan untuk dipecahkan. Jika kita telah mencintainya, Semua rumus yang kelihatannya rumit tiba tiba akan menjadi mudah untuk dipelajari. Begitulah kekuatan cinta, bahkan kotoran kucing pun bisa jadi kue coklat :D


3. Berdoa
Sebelum kita memulai mempelajari matematika, ada baiknya kita berdoa agar Tuhan memberi kemudahan bagi kita untuk memecahkan setiap persoalan yang terdapat di materi yang kita pelajari. Bukankah Tuhan itu Maha Pintar? Maka mintalah kepada-NYA sedikit kepintaran-NYA agar kita bisa memahami materi yang kita pelajari. Selain itu agar kita tetap konsisten dalam belajar dan gigih dalam berusaha, serta tidak mudah putus asa dalam belajar. Jadi doa ini juga termasuk hal yang penting.


4. Banyak Latihan dan Belajar
3 point diatas akan sangat tidak berguna jika ujung ujungnya kamu tidak mengambil langkah untuk segera belajar dan banyak latihan dengan rajin dan KONSISTEN. terkadang ada masanya kita semangat sekali untuk belajar, namun ada juga masa masa ketika malas sekali untuk belajar. Maka disini butuh kedisiplinan serta kekonsistenan dalam mempelajari matematika. Dalam 1 hari Tidak perlu meluangkan terlalu banyak untuk belajar, cukup sedikit waktu namun tetap kontinyu dan konsisten. Matematika adalah ilmu hitung, tentu akan semakin baik belajar ilmu hitung dengan berlatih menghitung dengan rajin. banyakin latihan membahas soal-soal, karena jika kita sudah terbiasa, maka akan mudah bagi kita untuk menyelesaikan soal yang sama dikemudian hari. Selain itu hal tersebut juga bisa membuat pemahaman kita kepada matematika semakin mendalam.
Setidaknya ada 6 tahap cara belajar yang baik:

a. Pahami Materi dengan rumus rumusnya
b. kelompokan rumus rumus yang ada
c. mulai mengerjakan soal-soal yang ada pembahasannya.
d. kerjakan soal tadi tanpa liat pembahasan.
e. kerjakan soal lain yang tipenya sama.
f. Terus berlatih soal-soal yang lain.
g. jangan hanya belajar dari satu buku, karena biasanya ada buku yang tidak menjelaskan persamaan secara detail sehingga susah untuk dipelajari. Jadi disarankan agar mencari buku referensi yang lain agar semakin mudah dalam mempelajari.

tips: jika mengerjakan soal pilihan ganda... pertama baca dulu sebagian jawaban... lalu baca pertanyaannya... lalu lihat lagi jawabannya semuanya...baru cari jawabannya (dengan cara ini... kamu akan tahu maksud soal itu)


5. Tiada kata "Aku Tak Bisa" dan "Putus Asa"
Putus Asa merupakan penyakit yang paling sering ditemui setiap orang ketika berusaha untuk mendapatkan sesuatu. Ketika kita belajar matematika, hindarilah sejauh mungkin kata putus asa, ketika kita menemukan soal yang rumit,maka segera minta bantuan ke guru matematika atau ke teman yang sudah memahami. sebisa mungkin jauhkan diri dari mengucapkan kata "Aku Tak Bisa" karena hal tersebut hanya memperburuk keadaan, ketika kamu merasa bahwa kamu tidak bisa mengerjakannya, maka katakanlah "Aku Pasti Bisa"!! Berilah semangat motivasi untuk diri sendiri, karena setiap permasalahan pasti ada pemecahannya..


6. Sabar..
Sabar dalam belajar, sabar dalam memecahkan persoalan, sabar dalam melaksanankan segala sesuatu, orang sabar disayang Tuhan..
 

Tips tips diatas berguna sekali dalam memahami cara belajar matematika yang baik. Kita juga harus mengetahui Cabang Matematika yang sangat perlu kita kuasai. Beberapa cabang yang cukup mendasar dan bermanfaat luas dalam pengembangan ilmu Matematika:

1) Arimatika. Semua hal tentang tambah, kurang, kali, bagi. Cabang Matematika yang paling sering digunakan dalam hidup ini, bahkan oleh orang yang tidak suka Matematika sekalipun! ;)

2) Geometri. Ilmu yang membahas bentuk, bidang, dan ruang suatu benda (terutama luas dan volume). Insinyur dan arsitek yang kompeten pasti menguasai cabang Matematika ini.

3) Aljabar. Manipulasi operasi arimatika untuk mencari suatu nilai yang tidak diketahui (biasanya dinyatakan dalam variabel x dan y). Ahli komputer dan programming termasuk mereka yang wajib menguasai aljabar. Bahkan ketika kecil, einstein mulai belajar matematika dari Aljabar ini.

4) Trigonometri. Cabang matematika yang didedikasikan untuk mempelajari semua properti pada segitiga (terutama sudut dan sisi) beserta manipulasinya. Trigonometri juga harus dikuasai oleh para insinyur dan arsitek.

5) Kalkulus (deret, limit, turunan, differensial, dan integral). Cabang matematika yang WAJIB dikuasai ilmuwan dan insinyur. Ilmu kalkulus mempelajari laju perubahan sesuatu, penjumlahan sesuatu yang banyak sekali menuju suatu nilai pasti, sampai pendekatan yang luar-biasa akurat untuk menghitung sesuatu yang "nyaris" mustahil dipecahkan untuk dihitung menggunakan operasi matematika biasa.

Demikian tips dan trik mengenai cara belajar matematika yang baik, semoga ini berguna bagi saya khususnya dan bagi para pembaca pada umumnya. Jika ada pertanyaan atau tambahan, silakan diisi komentarnya. Gratis kok :D

Magical 10001

Effect : Kalau kemarin anda bermain dengan magical of “9? sekarang adalah “10001?. Anda sebagai pesulap dapat membuat prediksi dari 4 digit angka (bebas) dikalikan dengan 10001.


Persiapan : Buat sebuah prediksi dari 4 digit yang dituliskan penonton (misal 4765 berarti prediksi anda 4765.4765)


Prosedur :

1. Anda panggil 1 orang sukarelawan untuk bermain dengan anda. Katakan bahwa sekarang ini bukan 9 ajaib tapi anda ajaib . Sekarang kita bermain 10001 ajaib , gak percaya liad aja…

2. Anda suruh penonton menuliskan 4 digit angka (misal 5974) anda membuat prediksi yaitu 59745974 hasil akhirnya.

3. Minta ia mengalikan dengan 10001 yang ajaib.

4. Secara bersamaan anda katakan bahwa tiada yang mustahil untuk angka yang bukan kelipatan 9. MAGIC ! Pasti sama.


TIPS :

Usahakan bermain dengan tempo cepat dan jangan bermain 1x lagi. Kalau tidak penonton agak sadar apapun 4 digit yang dikali oleh 10001 hasilnya ABCABC!

NOTE :

Angka boleh sama misal 4468 dll.
Dasar permainan ini sebenarnya adalah perkalian 1 seperti halnya 1 x 47 = 47 tapi hanya ditambahkan 0000 dan 1 dibelakangnya maka hasilnya sesuai kelipatan 0-nya 4747 x 10001 = 47474747 Sama seperti perkalian kelas – 1 anak SD yang 1 x1 = 1
Semoga Bermanfaat !

Media pembelajaran Matematika

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Matematika sebagai suatu pertanda perkembangan intelegensi manusia,juga merupakan salah satu cara mengembangkan cara berpikir. Oleh karena itu matematika sangat diperlukan baik untuk kehidupan sehari-hari maupun dalam menghadapi kemajuan IPTEK. Sehingga matematika perlu dibekalkan pada peserta didik sejak usia dini. Namun sebagian besar siswa beranggapan bahwa matematika itu sulit. Sulitnya penguasaan matematika disebabkan oleh beberapa faktor. Diantara faktor-faktor tersebut adalah kualitas masukan peserta didik; anggapan bahwa matematika itu menakutkan; kurangnya penguasaan guru terhadap materi maupun metode pembelajaran; dan kurang tersedianya fasilitas yang diperlukan, dan lain sebagainya.
Dari sejumlah faktor faktor penyebab sulitya penguasaan matematika penulis menggarisbawahi salah satu, yaitu anggapan bahwa matematika itu sulit dan “menakutkan”. Menurut pengalaman dari beberapa pengajar, pengalaman pribadi dan pernyataan dari beberpa siswa, sejumlah topik yang seringkali dirasakan sulit oleh siswa untuk dipelajari dan oleh guru untuk disampaikan adalah: dimensi tiga, trigonometri dan sebagaianya.
Penulis tertarik untuk menelusuri lebih lanjut mengenai trigonometri. Salah satu alasan penelusuran tersebut adalah pengalaman dan pendapat guru bahwa kesulitan pada pokok bahasan ini adalah bagaimana siswa memahami hakikat dari materi yang disampaikan. Beberapa diantara nya adalah istilah sinus, cosinus, dan tangen sebagai materi dasar untuk pengetahuan terigonometri yang lebih luas pada pembelajaran matematika lebih lanjut. Namun, karena penyajian pembelajaran yang bersifat memahami apa yang ada di buku sering kali membuat guru dan siswa terbentur pada pembelajaran yang bersifat hafalan saja, sehingga pembelaran belum berhasil seperti yang diharapkan. Salah satu komponen yang menentukan bagi tercapainya keberhasilan pembelajaran adalah guru. Menurut Gagne dalam tulisan Dwi Nugroho Hidayanto (1999:140) fungsi utama guru adalah merancang, mengelola dan mengevaluasi pembelajaran. Fungsi inilah yang menyebabkan guru mempunyai kedudukan strategis dan menentukan. Kemampuannya merancang pembelajaran, maka proses pembelajaram yang efektif, efisien, menarik, dan hasil pembelajaran yang bermutu tinggi dapat dilakukan dan dicapai oleh setiap guru . Terilhami oleh suatu ungkapan “saya mendengar lalu saya lupa, saya melihat lalu saya ingat, saya berbuat lalu saya mengerti”, maka penulis berasumsi bahwa pemakaian media pembelajaran menjadikan anak tidak hanya mendengar tetapi melihat dan melakukan. Oleh karena itu, penulis memperkenalkan sebuah media pembelajaran pokok bahasan trigonometri yaitu maket sebagai minatur dari bentuk tiga dimensi. Dengan media ini diharapkan materi yang disampaikan lebih bersifat realistik dari hanya sekedar mencatat dan menghafalkannya. Agar pembelajaran dengan menggunakan maket ini dapat berlangsung dengan baik, diperlukan suatu rencana pembelajaran yang berorientasi pada pembelajaran aktif kreatif efektif dan menyenangkan.
Dengan menggunakan maket, siswa termotivasi untuk belajar dan memahami pembelajaran yang sedang berlangsung. Hal tersebut dikarenakan pemahaman para siswa, konsep, prinsip dan pengalaman belajar diintegrasikan dan disinergikan dalam bentuk aktualisasi penerapan konsep dalam kehidupan sehari-hari, yang dibentuk dalam sebuah miniatur maket.
Menurut Bruner (2006:1.12) Proses belajar dibagi menjadi 3 tahap, yaitu tahap Enaktif(belajar kinse), ikonik(mengubah peristiwa atau benda dalam bentuk bayangan mental) serta tahap simbolik (mengutarakan bayangan mental dalam bentuk simbul.Dengan demikian pembelajaran dengan menggunakan maket dapat membimbing siswa melalui tahapan tersebut. Pembelajaran dengan menggunakan maket ini dirancang sedemikian hingga, supaya siswa aktif dan kreatif dalam pembelajaran. Hal ini diupayakan dapat merubah orientasi siswa dari belajar menjadi pembelajar, serta lebih menekankan pada pembelajaran (learning) dari pada pengajaran (teaching). Penggunakan maket pada trigometri sebagai pembelajaran berorientasi PAKEM juga sangat sesuai dengan empat pilar pendidikan yang dinyatakan oleh UNESCO yakni Learning to know, learning to do, learning to be dan learing ti life together. Hal ini dikarenakan selama proses pembelajaran terbentuk pengetahuan yang disampaikan oleh guru dan berdasar pengalaman yang mereka peroleh, kemudian dapat melakukan tugasnya dalam menggunakan maket, menjadi ahli-ahli dalam menyelesaikan permasalahan yang diberikan serta dapat bekerjasama dan saling menghargai dalam kelompoknya. Dengan demikian pembelajaran dengan menggunakan maket ini sangat sesuai dengan model pembelajaran kooperatif yang menekankan pada kerjasama dan kolaboratif para siswa dalam pembelajaran. Pembelajaran matematika dengan menggunakan maket yang berorientasi PAKEM ini merupakan suatu inovasi agar pembelajaran yang selama ini abstrak menjadi lebih real. Selama ini pembelajaran trigonometri hanya bersifat menjelaskan materi dan mengerjakan soal, sehingga pembelajaran bersifat rutinitas saja, jika ada yang melakukan praktek itupun lebih menyita waktu karena siswa harus keluar dan memperkirakan tinggi dan jarak dari benda-benda di luar yang umumnya sulit untuk dikondisikan. Dengan demikian pembelajaran dengan menggunakan maket ini dapat dijadikan suatu inovasi bagi pembelajaran selanjutnya.

B. Ruang Lingkup
Berdasarkan latar belakang di atas, secara umum permasalahan utama dalam kegiatan yang penulis lakukan adalah: “Bagaimana Menggunakan maket sebagai media pembelajaran trigonometri berorientasi PAKEM pada kelas X SMA”

C. Tujuan dan Manfaat yang Dilakukan
1. Tujuan
Adapun tujuan yang ingin dicapai melalui kegiatan ini adalah:
a. Mengoptimalkan kemampuan guru membuat rencana pembelajaran matematika yang berorientasi PAKEM dengan menggunakan maket .
b. Mengoptimalkan kemampuan guru meningkatkan penguasaan konsep, kreatifitas, aktivitas siswa pada matematika dengan menggunakan maket
c. Untuk memperoleh data objektif dan faktual tentang penguasaan konsep siswa pada materi trigonometri dengan menggunakan maket
2. Manfaat
Dari segi perencanaan, pelaksanaan dan hasil kegiatan ini diperoleh berbagai manfaat yang sangat berharga baik bagi penulis maupun bagi sekolah sebagai tempat pelaksanaankegiatan. Dalam hal ini kegunaan kegiatan diperjelas lagi menjadi:
a. Bagi Penulis : Menambah pengetahuan, wawasan dan pengalaman dalam mengatasi masalah pembelajaran (khususnya materi trigonometri) sehingga penulis dapat mengembangkan hal tersebut untuk mengatasi permasalahan mata materi lainnya.

b. Bagi Kepala Sekolah dan Guru : Dengan adanya kegiatan ini diharapkan kepala sekolah dan guru lainnya terdorong untuk mensosialisasikan dan menggunakan pembelajaran berorientasi PAKEM ini untuk meningkatkan kinerja guru.
c. Bagi Peserta didik : Mendapat kesan bahwa pembelajaran matematika itu menyenangkan, meningkatkan penguasaan konsep, kreativitas dan aktivitas siswa yang nantinya akan berimbas pula pada peningkatan prestasi hasil belajar siswa serta kualitas pembelajaran matematika pada umumnya.

D. Landasan Teori

1. Pembelajaran Matematika
Menurut R. Soedjadi dan Masriyah (dalam Suyitno, 2004:52) meskipun terdapat berbagai definisi matematika yang tampak berlainan, tetapi dapat ditarik ciri-ciri yang sama yakni:
1) matematika mempunyai obyek kajian yang abstrak,
2) matematika mendasarkan diri pada kesepakatan-kesepakatan,
3) matematika sepenuhnya menggunakan pola pikir deduktif, dan
4) matematika dijiwai dengan kebenaran konsistensi.

Dengan demikian pembelajaran matematika adalah suatu proses atau kegiatan guru mata pelajaran matematika dalam mengajarkan matematika kepada siswanya yang didalamnya terkandung upaya guru untuk menciptakan iklim dan pelayanan terhadap kemampuan, potensi,minat, bakat, dan kebutuhan siswa tentang matematika yang amat beragam agar terjadi interaksi optimal antara guru dengan siswa serta antara siswa dengan siswa dalam
mempelajari matematika tersebut (Suyitno, 2004:2). Matematika sekolah adalah matematika yang diajarkan di pendidikan dasar dan menengah. Matematika sekolah tersebut terdiri atas bagian-bagian matematika yang dipilih guna :
1) Menumbuhkembangkan kemampuan-kemampuan
2) Membentuk pribadi siswa
3) Berpandu pada perkembangan IPTEK



Menurut Suyitno (2004:52), obyek matematika ada 2, yaitu :
1) Objek langsung matematika adalah sebagai berikut:
• Fakta, yakni konvensi-konvensi sembarang dalam matematika.
• Konsep, adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk mengadakanklasifikasi atau penggolongan. Contoh: konsep ”segitiga” misalnya,adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan apakah suatu bangun geometri, datar, termasuk segitiga atau tidak.
• Prinsip, adalah pola hubungan fungsional diantara konsep-konsep. Salah satu wujud prinsip adalah teorema.
• Skil, adalah keterampilan mental untuk menjalankan prosedur atau algoritma guna menyelesaikan suatu masalah matematika.
2) Obyek tidak langsung matematika ada 7 macam yaitu:
1) bukti teorema
2) pemecahan masalah
3) transfer belajar
4) pengembangan intelektual,
5) kerja individu
6) kerja kelompok
7) sikap positif.

2. Maket sebagai media dalam pembelajaran Trigonometri
Maket berdasarkan Kamus besar bahasa Indonesia berarti bentuk tiruan tiga dimensi dan skala kecil yang terbuat dari kayu, kertas, tanah liat dan sebagainya (1994:628). Maket dalam pembelajaran trigonometri merupakan tiruan dari rumah, papan reklame serta pohon yang digunakan untuk menerapkan konsep perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku. Maket tesebut dapat dipajangkan atau digunakan untuk keperluan lain, sebagai media pembelajaran.
Media pembelajaran sebagai salah satu alat bantu mengajar harus dapat mempertinggi proses belajar siswa yang pada gilirannya diharapkan dapat mempertinggi hasil belajar yang dicapainya. Beberapa alasan untuk hal tersebut diantaranya adalah manfaat media pembelajaran dalam proses belajar. Manfaat media pembelajaran dalam pembelajaran antara lain :
1) Pengajaran akan menarik perhatian siswa sehingga akan menumbuhkan motivasi belajar siswa
2) bahan pengajaran akan lebih jelas maknanya sehingga dapat lebih dipahami oleh para siswa, dan memungkinkan siswa menguasai tujuan pembelajaran lebih baik
3) Metode pembelajaran akan lebih bervariasi, tidak semata-mata komunikasi verbal melalui penuturan kata-kata oleh guru, sehingga siswa tidak bosan dan guru tidak kehabisan tenaga, apalagi bila guru mengajar untuk setiap jam pelajaran
4) Siswa lebih banyak melakukan kegiatan belajar, sebab tidak hanya mendengarkan uraian guru, tetapi juga aktivitas lain seperti mengamati, melakukan, mendemonstrasikan dan lain-lain.

Agar media pembelajaran itu efektif, maka penggunaan media harus direncanakan dan dirancang secara sitematik. Masalahnya, ada beberapa pola penggunaan media pembelajaran sebagaimana diutarakan (Wibawa: 1991: 75-78) yaitu pola penggunaan media untuk tatanan (1) di dalam kelas, dan (2) di luar kelas. Pada pola penggunaan di dalam kelas, media itu digunakan dengan tujuan untuk menunjang tercapainya tujuan pembelajaran. Kerana itu dalam merencanakan penggunaan media guru harus mempertimbangkan tujuan pembelajaran.

Materi pembelajaran dan strategi pembelajaran.

Setelah mengetahui pola penggunaan media, maka langkah selanjutnya adalah prosedur penggunaan media pembelajaran. Ada tiga langkah pokok dalam prosedur penggunaan media pembelajaran yang perlu diikuti (dikemukakan oleh Wibawa: 1991: 79-80) yaitu sebagai berikut:
1) Persiapan
Langkah ini dilakukan sebelum menggunakan media. Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan adar penggunaan media dapat dipersiapkan dengan baik, yaitu: (1) pelajari buku petunjuk, kemudian ikuti petunjuk didalamnya, (2) siapkan peralatan yang diperlukan untuk menggunakan media yang dimaksud, (3) tetapkan, apakah media tersebut digunakan secara individual ataukah kelompok? Yakinkan bahwa semua peserta sudah mengerti tujuan yang hendak dicapai , (4) atur tatanannya, agar peserta dapat melihat, mendengar pesan-pesan pembelajaran dengan baik.
2) Pelaksanaan (penyajian, penerimaan)
Satu hak yang perlu diperhatikan selama menggunakan media pembelajaran yaitu hindari kejadian-kejadian yang dapat mengganggu ketenangan, perhatian, dan konsentrasi peserta.
3) Tindak lanjut
Kegiatan ini bertujuan untuk memantapkan pemahaman peserta terhadap pokok-pokok materi atau pesan pembelajaran yang hendak disampaikan melalui media tersebut. Selanjutnya pada beberapa media yang dilengkapi dengan alat evaluasi, amaka langkah ini dimaksudkan pula untuk melihat tercapai atau tidaknya tujuan yang ditetapkan. Kegiatan tindak lanjut ini umumnya dotandai dengan kegiatan diskusi, tes, dan observasi.
3. Pembelajaran Matematika yang Aktif, Kreatif, Efektif dan Menyenangkan
Pembelajaran matematika yang aktif, kreatif, efektif dan menyenangkan (PAKEM) pada hakikatnya adalah suatu strategi pembelajaran terpadu yang , yang menggunakan strategi, metode, pendekatan dan teknik pengajaran terpadu sedemikian rupa baik prosedur maupun tujuan pembelajarannya dapat terlaksana dan tercapai dengan baik. (Setiawan,2004:4) PAKEM merupakan salah satu model pembelajaran yang menerapkan konsep paradigma baru dalam psikologi belajar. Pendekatan ini lebih menekankan pada prinsip-prinsip humanisme dalam membentuk perilaku anak dan menerapkan prinsip psikologi kognitif.
a. Pembelajaran Aktif dalam matematika
Keaktifan dalam pembelajaran dapat berupa keaktifan mental maupun keaktifan fisik. Sejalan dengan faham konstruktifisme, mengajar tidak dapat disamakan dengan memasukan air ke dalam gelas. Menurut Vigotsky (dalam Setiawan,2004:8) Konsruktifisme berlandaskan pada dua hipotesis yaitu:
a) Pengetahuan dibangun (dikonstruksi) secara aktif oleh dan dalam diri subyek belajar, bukan secara fasif diterima dari lingkungan belajar.
b) Peranjakan dalam memahami suatu pengetahuan merupakan proses adaftif, yang mengorganisasi pengalaman si pebelajar dalam interaksi dengan lingkungannya Berangkat dari pandangan tersebut maka pemahaman siswa dalam matematika (termasuk trigonometri) dapat diperoleh jika siswa mengkonstruksi pengetahuan secara aktif lewat pengalaman . Dengan demikian pada saat pembelajaran siswa haruslah berpartisifasi aktif sedemikian sehingga kegiatan siswa dalam belajar lebih dominan dari kegiatan guru dalam mengajar.
b. Pelajaran Matematika yang Kreatif
Menurut Setiawan (2004:6)” Pembelajaran kreatif penekanannya bagaimana guru sebagai fasilitator dalam pembelajaran matematika ini mampu memfasilitasi proses belajar mengajar sehingga memberi suasana yang kondusif untuk siswa belajar”. Dengan demikian seorang guru dituntut untuk dapat merancang suatu pembelajaran yang dapat memotivasi siswa menjadi kreatif, sehingga memenuhi berbagai tingkat kemampuan siswa.
c. Pembelajaran Matematika yang Efektif
1) Resep Pembelajaran Efektif
Menurut Kanold (dalam Setiawan,2004) resep pembelajaran efektif meliputi:
a) Perencanaaan Membuat rencana ( dirumah sebelum mengajar) sehingga dapat:
1. Memulai pertemuan dengan tinjauan singkat atau dengan masalah pembuka selera.
2. Memulai pembelajaran dengan pemberitahuan tujuan dan alasan secara singkat.
3. Menyajikan bahan pelajaran baru sedikit demi sedikit, dan diantara bagian – bagian penyajian yang sedikit itu memberikan kesempatan kepada siswa memahami, mencobakan, bertanya dan sebagainya.
4. Memberikan petunjuk yang rinci untuk setiap petugas bagi siswa.
5. Memeriksa pemahaman siswa dengan jalan mengajaukan banyak pertanyaan dan memberikan latihan yang cukup banyak.
6. Membolehkan siswa kerja sama sampai pada tingkat siswa dapat mengerjakan tugas secara mandiri.
b) Penyajian Mengimplemantasikan rencana yang telah dibuat dengan :
1. Pemeriksaan pemahaman oleh siswa dilakukan dengan pemberian tugas kepada siswa. Guru memberikan penjelasan pembuka jalan, kemudian siswa menyelesaiakan tugas itu, lalu guru berkeliling memeriksa hasil pembelajaran, memberi bantuan, siswa membuat ringkasan proses langkah – langkah penyelesaian tugas tersebut.
2. Pertanyaan diberikan kepada seluruh siswa; siswa diberi waktu cukup untuk menemukan jawaban; baru kemudian slaah seorang siswa ditunjuk secara acaka untuk menjawab pertanyaan tadi; akhirnya jawaban ditawarkan kepada siswa lain untuk menilai kebenaran atau ketepatannya.
3. Pada pembelajaran tentang konsep atau prosedur, siswa mengerjakan latihan terbimbing. Guru pembimbing dengan menugasi siswa bekerja berkelompok kecil atau berpasangan untuk merumuskan jawaban atas latihan itu, menyusun strategi yang diperlukan, dan sebagainya.
c) Penutup pertemuan
• Jika sisa waktu tinggal sedikit, digunakan untuk membuat ringkasan dari pelajaran yang baru selesai.
• Jika sisa waktu agak banyak, digunakan untuk membicarakan langkah awal dari penyelesaian tugas yang harus dikerjakan di rumah.

2) Cooperatif learning sebagai suatu pendekatan dalam Strategi pembelajaran Efektif
Pembelajaran kooperatif atau pembelajaran gotong royong adalah salah satu jenis belajar kelompok , dengan kekhususan sebagai berikut:
i. Kelompok terdiria atas anggota yang heterogen (kemampuab, jenis kelamin, etnik dan sebagainya)
ii. Ada ketergantungan yang positif di antara anggota-anggota kelompok, karena setiap anggota kelompok bertangguang jawab atas keberhasilan melaksanakan tugas kelompok
iii. Kepemimpinan dipegang bersama, tetapi ada pembagian tugas selain kepemimpinan
iv. Guru mengamati kerja kelompok dan melakukan intervensi jika perlu
v. Setiap anggota kelompok harus siap menyajikan hasil kerja kelompok. (Setiawan,2004:11)
d. Pembelajaran Matematika yang menyenangkan
Salah satu hambatan dalam pembelajaran matematika adalah banyak siswa yang tidak tertarik pada matematika itu sendiri, sudah barang tentu termasuk di dalamnya trigonometri. Untuk mengatasi hal tersebut salah satunya adalah dengan memberikan motivasi kepada siswa, sehingga pembelajaran itu menyenangkan.

E. Pengertian Dasar
Suharsimi Arikunto (1996: 60) berpendapat bahwa: “Anggapan dasar atau postulat adalah sebuah titik tolak penelitian”. Dalam kegiatan ini penulis dapat mengemukakan anggapan dasar sebagai berikut:
a. Maket yang dimaksud penulis adalah maket yaang dibuat untuk keperluan pembelajaran trigonometri.
b. Pembelajaran matematika akan berhasil dengan baik apabila guru memahami perkembangan intelektual siswa

BAB II
PROGRAM PENANGGULANGAN

A. Rumusan Kegiatan
Masalah kesulitan guru dalam mendesain pembelajaran menyenangkan bagi siswa tentang trigonometri di SMA akan diatasi dengan melakukan Inovasi Pembelajaran. Pada inovasi ini guru matematika sebagai inovator menemukan dan melakukan kegiatan reflektif dan berdaur sehingga guru benar-benar memiliki kemampuan yang optimal dalam hal:
1. Membuat alat peraga model maket dalam pembelajaran matematika untuk mendesain pembelajaran yang menyenangkan pada topik trigonometri;.
2. Menyusun rencana pelaksanaan pembelajaran trigonometri di kelas X SMA.
3. Membuat instrumen untuk menilai Penguasaan Konsep dan aktivitas siswa pada trigonometri;.
4. Membuat Lembar Kerja Siswa (LKS) untuk mengembangkan Penguasaan konsep dan aktivitas siswa pada trigonometri.
5. Mengelola pembelajaran dengan menggunakan media maket.

Media pembelajaran berbentuk maket ini terbuat dari stirofoam, kayu, dan lem kayu. Kemudian dibentuk berbagai model rumah, pohon dan papan reklame. Untuk lebih jelas lagi model alat peraga yang dimaksud dilihat dari segi alat/bahan, cara pembuatan dan cara penggunaan adalah sebagai berikut berikut:
a. Alat dan Bahan
• Gunting / Cutter
• Penggaris
• Pensil/pulpen
• Kertas Tebal 4 lembar ukuran 30x40 cm
• Stiro foam
• 1 pak kayu untuk es krim
• Lem Kayu

b. Cara Membuat
Membuat miniatur rumah dari kayu eskrim dengan menggunakan lem kayu
Membuat miniatur papan reklame dengan menggunakan kayu eskrim dengan menggunakan lem kayu
membuat miniatur pohon
Menggabungkan 2 lembar stirofoam hingga ketebalan 3 cm kemudian lekatkan pada karton tebal
Memasangkan miniatur yang telah dibuat di atas stirofoam tebal.
Maket siap untuk digunakan.

c. Cara Menggunakan
Maket yang telah disusun disimpan di depan kelas.
Masing-masing kelompok mengambil maket.
Setiap kelompok mengerjakan soal yang tersedia pada maket.
Model pada maket kemudian digambar dalam lembar kerja yang telah dimiliki siswa, kemudian menghitung apa yang ditanyakan dengan memanipulasi angka menggunakan perbandingan trigonometri.
Masing-masing kelompok secara perwakilan melaporkan hasil kerja kelompok secara bergiliran.

B. Proses Pelaksanaan Pembelajaran
Proses pelaksanaan kegiatan pembelajaran adalah melaksanakan apa-apa yang telah dipersiapkan atau direncanakan pada tahap perencanaan tindakan yang telah dibuat sebelumnya.
Pelaksanaan penggunaan media maket dalam materi trigonometri secara umum adalah sebagai berikut:
a) Mengondisikan Kelas : Kelas dipersiapkan dengan cara ditata supaya nyaman untuk belajar, tempat duduk dikondisikan sedemikian rupa untuk memudahkan siswa duduk untuk membuat kelompok yang terdiri dari 3 sampai dengan 4 orang per kelompoknya. Buku penunjang, hand out dan media pembelajaran dipersiapkan, guru peneliti dan observer sudah siap untuk memulai kegiatan pembelajaran.
b) Pelaksanaan:
1) Kegiatan Awal
Kegiatan awal yang dilakukan oleh guru adalah memusatkan perhatian siswa untuk belajar. Guru mengucapkan salam dan siswa menjawabnya. Kemudian menyapa siswa dengan menanyakan keadaan siswa “Bagaimana kedaanmu sekarang?” siswa serempak menjawab “Alhamdulillah baik”. Kemudian guru menyampaikan Standar kompetensi, kompetensi dasar serta tujuan yang ingin dicapai dalam pembelajaran. Setelah itu mengadakan apersepsi dengan cara menggali informasi prasyarat siswa dengan mengajukan pertanyaan “Apakah kalian masih ingat pada phitagoras?” siswa secara klasikal menjawab Ingat. Bagus guru memberikan pujian. Selanjutnya guru memberi motivasi siswa dengan menyebutkan berbagai penggunaan trigonometri dan mengulas sejarahnya.
2) Kegiatan Inti
Kegiatan inti diawali dengan penjelasan materi secara singkat. Siswa kemudian membentuk kelompok dengan berhitung mulai satu sampai delapan dan berulang hingga selesai. Siswa yang bernomor sama kemudian membentuk kelompok dan duduk secara kelompok.

Guru membagikan maket dan LKS, setiap kelompok diberi satu maket dan LKS dengan tujuan agar mudah dalam pengerjaannya. Guru menjelaskan cara melaksanakan kerja kelompok sesuai dengan yang tertera pada langkah kerja LKS. Langkah awal siswa dalam kelompok mengamati maket yang diatasnya terdapat soal. Siswa secara berkelompok menyusun kegiatan yang dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan yang dihadapi. Guru membimbing siswa dalam kerja kelompok. Siswa dalam kelompok nampak senang dan beraktivitas tinggi dengan pembelajaran menggunakan maket, karena mengasikkan sesuai dengan pengalaman dalam kehidupan sehari-hari, tetapi pengalaman tersebut ini ada kaitannya dengan pembelajaran konsep trigonometri. Setelah semua kelompok selesai guru kemudian mempersilahkan dua kelompok untuk mempresentasikan hasil pekerjaan di depan kelas.
3) Kegiatan Akhir
Dengan bimbingan guru siswa menyimpulkan hasil kegiatan pembelajaran. Kegiatan berikutnya pelaksanaan pos tes. Guru membagikan lembar evaluasi (tes) kepada setiap siswa untuk mengukur sejauhmana siswa dapat menguasai konsep yang telah dipelajari. Pada saat melaksanakan tes siswa tidak diperkenankan berkerjasama. Sebagai tindakan terakhir guru memberikan tugas atau PR yang bersifat individu.

BAB III
PENUTUP

A. Kesimpulan
Berdasarkan proses pembelajaran trigonometri dengan menggunakan media maket penulis berharap dapat meningkatkan keberhasilan siswa dalam penguasaan konsep. Hal tersebut dapat dicapai jika guru dapat mengelola pembelajaran baik dari segi metode, pendekatan maupun penggunaan media pembelajaran.

B. Saran
Disini penulis menyampaikan saran yaitu Penggunaan media maket perlu diujicobakan pada topik-tipik lain yang memungkinkan baik pada pelajaran matematika, maupun pada pelajaran lainnya.

MATEMATIKA EROPA


The Dark Ages
The peroiod dimulai dengan jatuhnya Kekaisaran Romawi pada pertengahan abad kelima dan memperluas ke abad kesebelas dikenal sebagai Abad Kegelapan Eropa, untuk selama periode peradaban di Eropa Barat mencapai surut sangat rendah. Sekolah menjadi hampir tidak ada, Yunani belajar tetapi semua hilang, dan banyak seni dan kerajinan diwariskan oleh dunia kuno dilupakan. Hanya para biksu dari biara katolik, dan beberapa orang awam berbudaya, diawetkan benang ramping pembelajaran Yunani dan Latin. Periode ini ditandai dengan kekerasan fisik banyak dan keyakinan keagamaan yang intens. Tatanan sosial lama memberi jalan dan masyarakat menjadi feodal dan gerejawi.
romawi itu tidak pernah dibawa ke matematika abstrak, tapi puas diri dengan aspek praktis hanya dari subjek yang berhubungan dengan perdagangan dan teknik sipil. Dengan jatuhnya kekaisaran roman dan penutupan berikutnya down sebagian besar perdagangan timur-barat dan meninggalkan proyek rekayasa negara, bahkan kepentingan-kepentingan ini menyusut, dan tidaklah berlebihan untuk mengatakan bahwa sangat sedikit dalam matematika, di luar pengembangan kalender christian, telah dicapai di barat selama seluruh setengah milenium tercakup dalam zaman kegelapan.
Dari orang bermurah hati dikreditkan dengan memainkan peran dalam sejarah matematika selama Abad Kegelapan, kita bisa menyebut warga negara romawi Boethius martir, yang acclesiastical british ulama dan Alcuin Bede, dan sarjana Terkenal Perancis dan anggota gereja Gerbert, yang menjadi Paus Silvester II .
Pentingnya Boethius (ca.475-524) dalam kisah istirahat matematika pada kenyataan bahwa tulisan-tulisan tentang geometri dan aritmatika tetap teks standar di sekolah biara selama berabad-abad. Ini bekerja sangat sedikit datang dianggap sebagai puncak prestasi matematika, dan dengan demikian juga menggambarkan kemiskinan subjek di Kristen Eropa selama Zaman Kegelapan. Untuk geometri terdiri dari apa-apa kecuali pernyataan proposisi buku I dan buku propositons beberapa dipilih III dan buku IV dari Euclid's Elements, bersama Withe beberapa aplikasi untuk pengukuran dasar dan Aritmatika didirikan dari membosankan dan setengah mistis, tetapi sekali sangat terkenal, karya Nicomachus dari empat abad sebelumnya. Hal ini berpendapat oleh beberapa bagian yang, setidaknya, dari geomrtry tersebut bersifat palsu. Dengan karya-karya, dan tulisan-tulisannya filsafat, Boethius menjadi pendiri skolastik abad pertengahan. cita-cita tinggi dan integritas yang tidak fleksibel-Nya memimpin dia ke s masalah politik dan ia menderita eruel akhir, dimana Gereja leclared dia martir.

Bede (ca 673-735), kemudian yang memenuhi syarat sebagai Bede yang terhormat lahir di Northumberlands, Inggris, dan menjadi salah satu yang terbesar dari Scolars Gereja abad pertengahan. menulis banyak nya mencakup beberapa pada mata pelajaran matematika, kepala yang teratises tentang kalender dan hisab jari. Alcuin (753-804), lahir di Yorkshire, adalah sarjana bahasa Inggris lain. ia dipanggil ke Perancis untuk membantu Charlemagnein proyek ambisius pendidikan nya. Alcuin menulis pada sejumlah topik matematika dan ragu-ragu dikreditkan dengan koleksi masalah teka-teki yang mempengaruhi penulis buku pelajaran untuk Berabad-abad banyak.

Gerbert (ca 950-1003) lahir di Auvergne, Perancis, dan awal showd kemampuan musual. dia adalah salah satu orang Kristen pertama untuk belajar di sekolah-sekolah Muslim Spanyol dan ada bukti bahwa ia mungkin telah membawa kembali angka Hindu-Arab, tanpa nol, bagi orang Kristen Eropa. ia dikatakan telah dibangun bola Abaci, daratan dan langit, jam, dan mungkin organ. accoplishments seperti menguatkan kecurigaan dari beberapa orang sezamannya bahwa ia telah perdagangan jiwanya kepada setan. Namun demikian ia terus naik di Gereja dan akhirnya terpilih menjadi Paus di 999. ia dianggap sebagai sarjana yang mendalam dan menulis di astrologi, geometri dan aritmatika.


Periode Transmisi
Tentang waktu Gerbert klasik Yunani dalam sains dan matematika mulai untuk menyaring ke Eropa. ada mengikuti periode transmisi selama yang kuno belajar diawetkan dengan budaya Islam adalah passedon ke Eropa barat. ini terjadi terjemahan Latin yang dibuat oleh para ahli Kristen melakukan perjalanan ke pusat-pusat Muslim learnin, melalui hubungan antara kerajaan Norman dari Sisilia dan timur, dan melalui hubungan komersial Eropa Barat dengan levant dan dunia arab.

hilangnya Moor Toledo oleh orang Kristen pada tahun 1085 diikuti oleh masuknya sarjana Kristen ke kota itu untuk acxquire belajar Islam. pusat Moor lainnya di Spanyol adalah menyusup dan menjadi abad kedua belas, dalam sejarah matematika, satu abad penerjemah. salah satu ulama Kristen awal untuk terlibat dalam pengejaran ini adalah bahasa inggris biksu Adelard of Bath (ca 1120), yang studi di Spanyol dan melakukan perjalanan secara ekstensif melalui Yunani, Syria dan Mesir. Adelard di dikreditkan dengan terjemahan Latin dari Euclid's Elements dan tabel astronomi Al-Khowarizmi's. ada mendebarkan sindiran terhadap risiko fisik yang dijalankan oleh Adelard dalam akuisisi tentang pembelajaran bahasa Arab, untuk memperoleh pengetahuan yang dijaga ketat, ia menyamar sebagai mahasiswa Islam. penerjemah lain awal italian itu, Plato of Tivoli (ca 1120), yang menerjemahkan astronomi Al-Battani, yang Spherics Theodosius, dan karya lainnya. penerjemah paling getol periode itu Gherardo dari Cremona (1114-1187), yang diterjemahkan ke dalam bahasa Latin lebih dari 90 karya Arab, antara yang Ptolemeus Almagest, Euclid's Elements, dan aljabar Al-Khowarizmi's. kita sudah, pada bagian 7-9, disebutkan peranan yang dimainkan oleh Gherardo dari Cremona dalam pengembangan sinus kata kita. penerjemah mencatat lain dari abad kedua belas adalah John dari Seville dan Robert dari Chester.

sejarah lokasi dan politik Sisilia dibuat bahwa sebuah pulau tempat pertemuan alami dari timur dan barat. Sicilystarted sebagai koloni Yunani, menjadi bagian dari Kekaisaran Romawi, terkait dirinya dengan Konstantinopel dan Bagdad. manuskrip Yunani dan Arab banyak dalam sains dan matematika diperoleh dan diterjemahkan ke latin. pekerjaan ini sangat didorong oleh dua penguasa dan pelindung ilmu pengetahuan, Frederick II (1194-1250) dan putranya Manfred (ca 1231-1266).

Di antara kota pertama untuk membangun hubungan niaga dengan dunia Arab adalah pusat komersial Italia di Genoa, Pisa, Venice, Milan dan Florence. pedagang italian datang di kontak dengan banyak peradaban timur, mengambil informasi aritmatika dan bersifat aljabar berguna. pedagang ini memainkan peran importand dalam penyebaran sistem angka Hindu-Arab.

Fibonacci dan The Thirteenth Century

di ambang abad ketiga belas muncul Leonardo Fibonacci, mungkin ahli matematika paling berbakat dari abad pertengahan. juga dikenal sebagai Leonardo dari Pisa (atau Leonardo Pisano). fibonacci lahir sekitar 1175 di pusat komersial Pisa, di mana ayahnya dihubungkan dengan bisiness merchantile. pendudukan ayah membangunkan awal di anak minat dalam aritmatika, dan perjalanan diperpanjang selanjutnya ke Mesir, Sisilia, Yunani, dan Suriah membawa dia dalam berhubungan dengan praktek-praktek matematika timur dan arab. Seksama yakin akan superioritas praktis dari metode Hindu-Arab calcultion fibonacci, pada 1202, tak lama setelah pulang, menerbitkan karya yang terkenal disebut Abaci Liber.
Abaci Liber dikenal tu kami melalui edisi kedua yang muncul di 1228. pekerjaan devited untuk aritmatika dan aljabar dasar dan meskipun dasarnya penyelidikan independen, menunjukkan pengaruh aljabar al-Khowarizmi dan Abu Kamil. buku mengilustrasikan deras dan sangat menganjurkan notasi Hindu-Arab dan berbuat banyak untuk membantu pekerjaan dijelaskan pembacaan dan penulisan angka baru, metode perhitungan dengan bilangan bulat dan pecahan, perhitungan akar kuadrat dan kubus, dan solusi linier dan persamaan kuadrat baik oleh posisi palsu dan oleh proses aljabar. akar negatif dan imajiner dari persamaan tidak diakui dan aljabar adalah retoris. aplikasi diberikan melibatkan barter, kemitraan, dan geometri aligasi mensurational. pekerjaan berisi koleksi besar masalah yang berfungsi kemudian penulis sebagai gudang selama berabad-abad. kita sudah, pada bagian 2-10, disebutkan satu masalah yang menarik dari koleksi, yang rupanya berevolusi dari masalah yang jauh lebih tua dalam papirus Rhind. Masalah lain, sehingga menimbulkan deret Fibonacci penting: 1,1,2,3,5 ,..., x, y, ,..., x + y dan beberapa masalah lain dari Abaci Liber.

pada 1220 muncul Fibonacci's geometriae Practica, koleksi besar materi geometri dan trigonometri diperlakukan terampil dengan ketelitian Euclidean dan orisinalitas beberapa, dan sekitar 1225 fibonacci menulis nya Liber quadratorum, sebuah karya brilian dan orisinal pada analisis tak tentu, yang telah menandai dirinya sebagai yang beredar matematika dalam bidang ini antara Diophantus dan Fermat. Karya-karya ini berada di luar kemampuan sebagian besar ulama kontemporer.

bakat Fibonacci datang menjadi perhatian pelindung belajar, Kaisar Frederick II, dengan hasil yang Fibonacci diundang ke pengadilan untuk berpartisipasi dalam turnamen matematika. tiga masalah yang ditetapkan oleh Yohanes dari Palermo, anggota rombongan kaisar. masalah pertama adalah untuk menemukan bilangan rasional x sedemikian sehingga x "+5 dan x" -5 masing-masing akan menjadi kuadrat dari bilangan rasional. fibonacci memberikan jawabannya x = 41/12, yang benar, karena (41/12) "+ 5 = (49/12)" dan (41/12) "- 5 = (31/12)". solusi muncul di quadratorum Liber. masalah kedua adalah untuk menemukan solusi persamaan kubik x "'+2 x" +10 x = 20.

Fibonacci mencoba bukti bahwa tidak ada akar dari persamaan dapat dinyatakan dengan cara irrationalities dari ......., bentuk atau, dalam kata-kata, bahwa tidak ada akar dapat dibangun dengan straightedge dan kompas. ia kemudian obtaioned jawaban perkiraan, yang, dinyatakan dalam notasi desimal, adalah 1,3688081075, dan benar untuk sembilan tempat. jawabannya muncul, tanpa diskusi yang menyertainya, dalam sebuah karya oleh fibonacci berjudul Flos ("blossom" atau "bunga") dan telah bersemangat bertanya-tanya beberapa. masalah ketiga, juga tercatat dalam Flos,

telah berpendapat bahwa Fibonacci muncul lebih besar dari dia sebenarnya adalah karena kurangnya sezaman sama. itu memang benar bahwa abad ketiga belas yang dihasilkan sangat sedikit matematikawan bertubuh apapun. sebelah fibonacci, dan kontemporer dengan dia, adalah Jordanus Nemorarius, biasanya diidentifikasi (tapi dalam semua kemungkinan salah) dengan biksu jerman Jordanus Saxo yang, di 1222, terpilih jenderal kedua Ordo Dominikan berkembang pesat. dia menulis beberapa karya yang berhubungan dengan aritmatika, aljabar, geometri, astronomi dan (Mungkin) statika. bekerja bertele-tele ini, beberapa yang menikmati ketenaran cukup pada satu waktu, sekarang tampak sangat sepele. Nemorarius meskipun, itu mungkin yang pertama secara luas untuk menggunakan huruf untuk mewakili angka umum, meskipun prakteknya memiliki pengaruh yang kecil terhadap penulis berikutnya. hanya ada satu contoh di mana fibonacci melakukan ini.

mungkin menyebutkan juga harus terbuat dari Sacrobosco (Yohanes Dari Holywood, atau John of Halifax), Campanus, dan Roger Bacon. matematika diajarkan pertama di Paris dan menulis sebuah kumpulan aturan aritmatika dan kompilasi populer ekstrak dari Ptolemy's Almagest dan karya astronom arab. Campanus'chief tawaran untuk ketenaran Transation Latin Elemen Euclid. Roger Bacon, jenius asli bahwa dia, memiliki sedikit kemampuan dalam matematika tetapi berkenalan dengan banyak dari karya-karya Yunani dalam geometri dan astronomi, dan sebagai eulogi nya membuktikan, sepenuhnya menghargai nilai subjek.

itu adalah bagian awal abad ketiga belas yang melihat munculnya universitas di Paris, Oxford, Cambridge, Padua, dan Napoli. Universitas kemudian menjadi faktor kuat dalam pengembangan matematika, matematikawan banyak dikaitkan dengan satu atau lebih lembaga tersebut.

Abad keempatbelas

abad keempat belas adalah satu matematis tandus. itu adalah abad Black Death, yang tersapu lebih dari sepertiga penduduk Eropa, dan pada abad ini Perang Seratus Tahun, dengan gejolak politik dan ekonomi di Eropa Utara, sembuh berlangsung.
matematikawan terbesar masa itu Nicole Oresme, yang lahir di Normandia sekitar 1323. ia meninggal pada 1382 setelah karir yang membawanya dari dosen untuk uskup. ia menulis lima karya matematika dan diterjemahkan sebagian dari Aristoteles. dalam salah satu saluran itu muncul penggunaan pertama yang diketahui eksponen pecahan (tidak, tentu saja, dalam notasi modern) dan di saluran lain ia menempatkan poin dengan koordinat, sehingga bayangan modern koordinat geometri. abad kemudian ini saluran terakhir menikmati beberapa cetakan, dan mungkin memiliki pengaruh matematikawan Renaisans dan bahkan Descartes.
meskipun matematika Eropa selama abad pertengahan pada dasarnya praktis, matematika spekulatif tidak sepenuhnya mati. meditasi filsuf skolastik menyebabkan halus berteori pada gerak, tak terhingga, dan kontinum, yang semuanya adalah konsep fundamental dalam matematika modern. berabad-abad perselisihan skolastik dan quibblings mungkin, sampai batas tertentu, akun untuk transformasi luar biasa dari kuno untuk berpikir matematika modern, dan mungkin, seperti yang disarankan oleh ET> Bell, merupakan analisis submathematical. dari sudut pandang ini Thomas Aquinas, mungkin memiliki pikiran acutest abad ketiga belas, juga dapat dianggap sebagai memiliki memainkan peran dalam pengembangan matematika. pasti lebih dari matematika konvensional Thomas Bradwardine (1290 - 1349), yang meninggal sebagai Uskup Agung Canterbury. selain spekulasi pada konsep-konsep dasar kontinyu dan diskrit dan pada tak terbatas besar dan kecil tak berhingga, Bradwardine menulis empat saluran matematika pada aritmatika dan geometri

8-5 Abad XV
Abad ke lima belas merupakan awal sanceEropa Renais dalam seni dan belajar. Puncak dari runtuhnya Kekaisaran Bizantium, yaitu ketika jatuhnya Konstantinopel ke tangan Bangsa Turki pada tahun 1453, pengungsi iring-iringan ke Italia dengan membawa harta karun peradaban Yunani. Banyak Yunani klasik, sampai saat ini dikenal hanya melalui terjemahan Arab yang sering tidak memadai ,namun sekarang bisa dipelajari dari sumber-sumber asli. Selain itu, sekitar pertengahan abad ini, percetakan ditemukan dan merevolusi perdagangan buku, yang memungkinkan pengetahuan untuk disebarluaskan pada tingkat yang belum pernah terjadi sebelumnya. Menjelang akhir abad, Amerika ditemukan.
Aktivitas matematika pada abad kelima belas sebagian besar berpusat di kota-kota Italia dan di kota-kota Eropa tengah Nuremberg, Wina, dan Praha, dan terkonsentrasi pada aritmatika, aljabar, dan trigonometri. Jadi matematika berkembang terutama di kota-kota niaga tumbuh di bawah pengaruh perdagangan, navigasi, astronomi, dan survei.
Mengikuti urutan kronologis pertama kita menyebutkan Nicholas Cusa, yang mengambil namanya dari kota Isyarat di Mosel, di mana ia lahir pada tahun 1401. Anak seorang nelayan miskin, ia dibesarkan di di Gereja, dan akhirnya menjadi pejabat tinggi gereja. Pada 1448, ia menjadi gubernur Roma. Dia tidak hanya kebetulan matematika tetapi berhasil dalam menulis sedikit di bidang matematika. Dia sekarang dikenal di sepanjang garis-garis ini terutama untuk karyanya pada reformasi kalender dan keberhasilan percobaannya dalam kuadrat lingkaran dan membagi tiga sudut umum. Dia meninggal pada 1464.
Seorang ahli matematika yang lebih baik Georg von Peurbach (1423-1461), yang menomori Nicholas Cusa sebagai salah seorang guru. Setelah berceramah tentang matematika di Italia, ia menetap di Wina dan membuat universitas pusat matematika dari generasinya. Dia menulis sebuah aritmatika dan bekerja di bidang astronomi, dan menyusun tabel sinus. Kebanyakan dari karya-karya tersebut tidak dipublikasi hingga setelah kematiannya. Dia juga telah memulai sebuah terjemahan Latin, dari bahasa Yunani, pada  Ptolemy's Almagest.
Ahli matematika ablest dan paling berpengaruh abad ini adalah Johann Miiller (1436-1476), lebih umum dikenal, dari bentuk Latin dari tempat kelahirannya dari Konigsberg ("raja gunung"), sebagai Regiomontanus. Pada usia muda ia belajar di bawah Peurb, ach di Wina dan kemudian dipercayakan dengan tugas menyelesaikan terjemahan yang terakhir tentang Almagest. Ia juga diterjemahkan, dari bahasa Yunani, karya-karya Apollonius, Heron, dan Archimedes. Risalah-Nya De triangulis omnimodis, ditulis sekitar 1464 namun diterbitkan secara anumerta pada tahun 1533, adalah publikasi terbesar dan merupakan eksposisi sistematis Eropa pertama pada pesawat dan trigonometri yang berhubungan dengan bola mempertimbangkan dengan bebas dari astronomi. Regiomontanus bepergian jauh di Italia dan Jerman, akhirnya menetap di 1471 di Nuremberg, tempat ia mendirikan sebuah observatorium, didirikan sebuah mesin cetak, dan menulis beberapa traktat tentang astronomi. Dia dikatakan telah membangun sebuah elang mekanik yang mengepakkan sayap dan dianggap sebagai salah satu keajaiban zaman. Pada 1475, Regiomontanus diundang ke Roma oleh Paus Siktus IV untuk ikut serta dalam reformasi kalender. Tak lama setelah kedatangannya, pada usia 40, ia tiba-tiba meninggal. Penyebab kematiannya masih misterius, karena, sebagian besar laporan mengklaim bahwa dia meninggal karena wabah penyakit, namun disamping itu juga dikabarkan bahwa ia diracuni oleh musuh.
Regiomontanus 'De triangulis omnimodis dibagi menjadi lima buku, empat pertama yang ditujukan untuk trigonometri pesawat dan nometry trigonometri lingkaran. Di dalamnya ia menunjukkan minat banyak dalam penentuan segitiga memuaskan tiga kondisi yang diberikan. Contoh umum dianggap oleh dia adalah: (1) Sebuah segitiga ditentukan dari perbedaan dari dua sisi, ketinggian di sisi ketiga, dan perbedaan segmen di mana ketinggian membagi pihak ketiga; (2) Sebuah segitiga ditentukan dari sisi, ketinggian di sisi ini, dan rasio dari dua sisi yang lain, (3) Konsepsiklik segiempat diberikan empat sisi. Regiomontanus dipekerjakan aljabar retoris untuk memecahkan masalah, menemukan bagian yang tidak diketahui dari angka sebagai akar dari persamaan kuadrat. Meskipun metode nya itu dimaksudkan untuk dianggap sebagai umum, ia selalu memberikan nilai numerik khusus untuk bagian yang diberikan. Fungsi trigonometri hanya bekerja di omnimodis De triangulis adalah sinus dan kosinus. Kemudian, Regiomontanus dihitung tabel tangen.
Matematikawan Perancis paling cemerlang abad kelima belas adalah Nicolas Chuquet, yang lahir di Paris, tapi tinggal dan praktek kesehatan di Lyons. Pada 1484, ia menulis sebuah aritmatika yang dikenal sebagai Triparty en la science des nombres, yang tidak dicetak sampai abad kesembilan belas. Yang pertama dari tiga bagian dari pekerjaan ini kekhawatiran itu sendiri dengan perhitungan dengan bilangan rasional, yang kedua dengan bilangan irasional, dan yang ketiga dengan teori persamaan. Chuquet mengakui eksponen integral positif dan negatif dan synoopated beberapa aljabarnya. Karyanya terlalu maju, untuk disamakan dengan orang-orang sezamannya. Dia meninggal sekitar 1500. Beberapa masalah dari Chuquet dapat ditemukan pada Soal Studi 8.7.
Pada 1494 muncul edisi cetak pertama dari ariihmelica de Summa, geomctrica, proportioni et proportionalita, biasanya disebut secara singkat sebagai Suma, dari ca {biarawan Italia Luca Pacioli. 1445-ca. 1509). Ini bekerja, bebas dikumpulkan dari berbagai sumber, konon menjadi ringkasan arithmetic aljabar, dan geometri waktu. Isipenting sedikit tidak ditemukan dalam Abaci Liber fibonacci tapi tidak menggunakan notasi yang unggul.
Bagian aritmatika dari Suma dimulai dengan algorisms untuk operasi dasar dan untuk mengekstraksi akar kuadrat. Presentasi agak lengkap, berisi, misalnya, tidak kurang dari delapan rencana kinerja sebuah perkalian. aritmatika Mercantile sepenuhnya ditangani dan diilustrasikan oleh banyak masalah, ada adalah pengobatan yang penting dari pembukuan double entry. Aturan posisi palsu dibahas dan diterapkan. Meskipun banyak kesalahan numerik, bagian aritmatika pekerjaan telah menjadi kewenangan standar pada praktek waktu. Aljabar dalam Sumo berjalan melalui persamaan kuadrat dan mengandung banyak masalah yang menyebabkan persamaan tersebut. aljabar ini syncopated oleh penggunaan seperti negosiasi ¬ disingkat sebagai p (dari PIU, "lebih") untuk plus, m (dari nieno, "kurang") untuk minus, co (dari cosa, "hal") untuk diketahui x , ce (dari censo) untuk , cu (dari cuba) untuk , dan cece (dari censocenso) untuk . Kesetaraan kadang-kadang ditandai oleh ae (dari aequalis). Bar sering muncul dari singkatan, tapi ini adalah kebiasaan 'untuk menunjukkan suatu kelalaian, seperti dalam Suma untuk Summa. Pekerjaan berisi sangat sedikit kepentingan dalam geometri. Seperti Regiomon-tanus, aljabar sering digunakan dalam pemecahan masalah geometri.
Pacioli bepergian, mengajar di berbagai tempat, dan menulis sejumlah karya-karya lain, tidak semua yang dicetak. Pada 1509, ia menerbitkan proporsi diuina Dc nya, yang berisi angka dari zat padat reguler diperkirakan telah ditarik oleh Leonardo da Vinci.
Penampilan pertama yang di cetak hingga sampai pada kita sekarang + dan - tanda-tanda ini dalam aritmatika diterbitkan di Leipzig pada tahun 1489 oleh Johann Widman (ca lahir 1460 di Bohemia.). Berikut tanda-tanda tidak digunakan sebagai simbol operasi tetapi hanya untuk menunjukkan kelebihan dan kekurangan. Cukup kemungkinan tanda plus merupakan kontraksi dari kata et Latin, yang sering digunakan untuk menunjukkan tambahan, dan mungkin bahwa tanda minus dikontrak dari fn singkatan untuk minus. penjelasan yang masuk akal lain telah ditawarkan. Tanda + dan - digunakan sebagai simbol operasi aljabar pada 1514 oleh ahli ilmu mathematik Belanda Vander Hoeck tetapi mungkin juga digunakan sebelumnya.
8-6 Awal aritmatika
Dengan minat pada pendidikan yang disertai Renaissance dan dengan meningkatnya aktivitas komersial yang luar biasa pada saat itu, tuan rumah buku populer di aritmatika mulai muncul. Tiga ratus buku seperti itu dicetak di Eropa sebelum abad ke tujuh belas. Teks-teks ini sebagian besar dari dua jenis, yang ditulis dalam bahasa Latin oleh para sarjana klasik sering diterapkan pada sekolah-sekolah Gereja, dan mereka yang ditulis dalam bahasa daerah oleh guru praktis dalam mempersiapkan anak laki-laki tertarik untuk karir komersial. Guru-guru terakhir sering juga menjabat sebagai surveyor kota, notaris, dan "gaugers, dan termasuk Rechenmeisters berpengaruh yang didukung oleh Liga Hanseatic, sebuah serikat pelindung kota komersial yang kuat di negara-negara Jerman.
Cetakan pertama the aritmetika tidak diketahui namanya  dan sekarang Treviso aritmatika, yang diterbitkan di 1478 di kota Treviso, terletak di jalur perdagangan yang menghubungkan Venesia dengan utara. Ini sebagian besar merupakan aritmatika komersial yang ditujukan untuk menjelaskan penulisan angka, perhitungan dengan mereka, dan aplikasi untuk kemitraan dan barter. Seperti "al-gorisms" awal dari abad keempat belas, juga berisi beberapa pertanyaan rekreasi.
Jauh lebih berpengaruh di Italia daripada Aritmatika Treviso adalah aritmatika komersial yang ditulis oleh Piero Borghi. Ini sangat berguna dan diterbitkan di Venice pada 1484 dan mencapai setidaknya tujuh belas edisi, yang terakhir muncul pada 1557. Pada 1491 muncul, di Florence, sebuah aritmatika kurang penting oleh Filippo Calandri, tapi menarik untuk kita karena dicetak menggunakan proses modern untuk yang pertama kali dan juga masalah digambarkan pertama kali diterbitkan di Italia. Kita telah dianggap Pacioli's Suma, yang diterbitkan pada tahun 1494, sebagian besar yang dikhususkan untuk aritmatika.
Aritmatika yang sangat berpengaruh di Jerman adalah aritmatika Widman yang diterbitkan di 1489 di Leipzig. Aritmatika Jerman penting lainnya yang ditulis oleh Jacob Kobel (1470-1533), seorang Rechenmeister dari Heidelberg. Popularitas aritmatika ini, diterbitkan di tahun 1514, dibuktikan oleh kenyataan melalui setidaknya 22 edisi. Tapi mungkin aritmatika komersial yang paling berpengaruh dari Jerman adalah Adam Riese (ca. 1489-1559), yang diterbitkan pada tahun 1522. Karya ini menjadi karya ternama yang bahkan saat ini di Jerman nach frase Adam Riese digunakan untuk menunjukkan perhitungan yang benar.
Inggris, juga, tercatat menghasilkan beberapa aritmatika awal. Penerbitan pertamadi Inggris yang ditujukan khusus untuk matematika adalah arithmatik yang ditulis oleh Cuthbert Tonstall (1474-1559). Buku ini, didirikan pada Pacioli 'S Suma, dicetak pada tahun 1522 dan telah ditulis dalam bahasa Latin. Selama hidup penting nya, Tonstall mengisi jumlah posting gerejawi dan diplomatik. Menjunjung orang sezamannya untuk beasiswa. Ituditunjukkan oleh fakta bahwa edisi cetak pertama dari Elemen Euclid di Yunani (1533) telah didedikasikan untuk dia. Tetapi penulis buku pelajaran bahasa Inggris yang paling berpengaruh pada abad keenam belas adalah Robert Recorde (ca. 1510-1558). Recorde menulis dalam bahasa Inggris, karya-karyanya muncul sebagai dialog antara guru dan siswa. Ia menulis sedikitnya lima buku, yang pertama menjadi aritmatika sebuah fancifully berjudul The Ground Aries dan diterbitkan sekitar tahun 1542. Karya ini menikmati setidaknya 29 percetakan. Recorde belajar di Oxford dan kemudian mengambil gelar dokter di Cambridge. Dia mengajar matematika di kelas swasta di kedua lembaga sementara di tinggal di sana dan setelah meninggalkan Cambridge menjabat sebagai dokter untuk Edward VI dan Mary Queen. Dalam kehidupan selanjutnya ia menjadi "Comptroller dari Pertambangan dan uang " di Irlandia. tahun terakhirnya dihabiskan di penjara, mungkin untuk beberapa pelanggaran yang berkaitan dengan pekerjaannya di Irlandia.
8-7 Awal Simbolisme aljabar
Selain aritmatika nya, disebutkan dalam bagian terakhir, Robert Recorde menulis astronomi, geometri, aljabar, sebuah buku tentang obat-obatan, dan mungkin beberapa lainnya sekarang hilang. Buku tentang astronomi, dicetak pada tahun 1551, disebut The Castle of Knowledgedan merupakan salah satu karya pertama yang memperkenalkan sistem Copernican untuk pembaca bahasa Inggris. geometri Recorde, The Pathewaie untuk Pengetahuan, juga dicetak pada tahun 1551 dan berisi ringkasan dari Elemen Euclid. Yang menarik sejarah di sini adalah aljabar Recorde, yang disebut The Whetstone of Witte, diterbitkan pada 1557, untuk itu dalam buku ini bahwa simbol modern kita untuk kesetaraan digunakan untuk yang pertama kalinya. Recorde dibenarkan adopsi nya dari sepasang sebesar segmen garis sejajar untuk simbol kesetaraan "noe bicause 2 thynges bisa equalle moare."
Simbol lain aljabar modern kita, yaitu tanda radikal akrab (Diadopsi mungkin karena menyerupai r kecil, untuk radix), diperkenalkan pada tahun 1525 oleh Christoff Rudolff dalam buku tentang aljabar berjudul Die Coss. Buku ini sangat berpengaruh di Jerman dan edisi peningkatan pekerjaan itu dibawa keluar oleh Michael Stifel (1486-1567) pada tahun 1553. Stifel telah digambarkan sebagai aljabar Jerman terbesar dari abad keenam belas. bekerja besCTcnown matematika-Nya adalah miliknya Arithmetica Integra, yang diterbitkan pada 1544. Hal ini dibagi menjadi tiga bagian setia, masing-masing, untuk bilangan rasional, bilangan irasional, dan aljabar. Pada bagian pertama, Stifel menunjukkan keuntungan dari mengasosiasikan sebuah kemajuan aritmatika dengan yang geometris, sehingga bayangan penemuan logaritma hampir satu abad kemudian. Dia juga memberikan, dalam bagian ini, koefisien binomial sampai urutan ketujuh belas. Bagian kedua dari buku ini pada dasarnya adalah presentasi aljabarEuclid's Book X, dan bagian ketiga berkaitan dengan persamaan. Negatif akar dari suatu persamaan dibuang, tetapi tanda-tanda + ,-, digunakan, dan sering tidak diketahui diwakili oleh huruf.
Stifel adalah salah satu kepribadian paling aneh dalam sejarah matematika. Ia merupakan biarawan, dikonversi oleh Martin Luther, dan menjadi seorang reformis fanatik. Pikiran-Nya tidak menentu membuatnya menikmati mistisisme nomor. Dari analisis tulisan Alkitab, ia bernubuat akhir dunia pada 3 Oktober 1533 dan dipaksa untuk berlindung di penjara setelah merusak kehidupan petani percaya banyak yang telah meninggalkan pekerjaan dan harta untuk menemaninya ke surga. Contoh ekstrim dari penalaran mistis Stifel adalah buktinya, dengan arithmology, bahwa Paus Leo X adalah "binatang" yang disebutkan dalam Kitab Wahyu. Dari LEO DECIMVS dia mempertahankan huruf LDCIMV. Dia kemudian menambahkan X, untuk Leo X, dan dihilangkan M, karena berdiri misteri. Sebuah penataan huruf memberikan DCLXVI, 666, atau "jumlah binatang" dalam Kitab Wahyu.
Beberapa tahun kemudian Napier, penemu logaritma, menunjukkan bahwa 666 berdiri Paus Roma, dan Jesuit kontemporer-Nya, Bapa Bongus, menyatakan bahwa ia berdiri untuk Martin Luther. Selama Perang Dunia I, arithmology, telah digunakan untuk menunjukan 666 yang harus ditafsirkan Kaisar Wilhelm. Ini menunjukan bahwa 666 berwewenang bila mana tepat dalam simbol huruf dari bahasa Aramaic yg mana mula-mula telah ditulis dalam buku wahyu.
8.8 Persamaan pangkat tiga dan pangkat empat.
            Yang paling banyak menarik perhatian adalah hasil penemuan matematika abad ke-16, oleh matematikawan Italia, yaitu penyelesaian persamaan aljabar pangkat tiga dan pangkat empat. Penemuan sejarah ini, diungkapkan dalam beberapa versi, diantarannya ditulis oleh Benvenuto Cellini.
Briefly menceritakan fakta adanya sedikit kesukaran. Tentang 1515, Scipione del Ferro (1465-1526), Matematikawan di universitas Bologna, memecahkan persamaan aljabar pangkat tiga . Dasar dari permulaan pekerjaan ini bersumber dari arab. Sekitar tahun 1535, Nicolo of Brescia, biasanya menunjukkan kepada Tartaglia karena Childhood Injury yang mana mempengaruhi pemikiran dia, penemuan pemecahan persamaan aljabar pangkat tiga .
             Pemecahan persamaan pangkat tiga  dibuktikan oleh Cardano Ars magna di bawah ini:
Kita misalkan
Kemudian subtitusikan ke persamaan awal menjadi:

Kemudian x dimisalkan sama dengan . Pemecahan terakhir kedua persamaan tersebut disamakan untuk a dan b kita dapatkan:


Dan x determinan.
           Metode Ferrari’s memecahkan berpangkat empat, meringkas dengan notasi modern, yaitu seperti di bawah ini. Transformasi sederhananya dengan mereduksi lengkap pangkat empat untuk satu bentuk.

Kita uraikan persamaan diatas diperoleh:

Kemudian kedua ruas di tambah  maka diperoleh:

Sekarang kita memilih y, dari anggota persamaan kuadrat. Contoh kasusnya adalah:

Tetapi pangkat tiga dari y,dan mungkin ada beberapa cara untuk memecahkannya. Mereduksi nilai y dari masalah utama yaitu menghilangkan akar pangkat dua.
         Sejak pemecahan masalah umum persamaan pangkat empat yaitu membuat pemecahan masalah yang menghubungkan persamaan pangkat tiga, Euler 1750, mencoba memecahkan masalah reduksi umum persamaan pangkat empat.
            Girolamo Cardano adalah salah seorang yang mempunyai karakter luar biasa dalam sejarah matematika. Pada tahun 1572, sebelum Cardano meninggal, Rafael Bombelli mengumumkan aljabar mana yang berperan penting dalam memecahkan persamaan pangkat tiga. Didalam buku sekolahnya (textbook) dapat dilihat teori persamaan bahwa jika  adalah negatif, maka persamaan pangkat tiga  bilangan real akar tiga.

8.9 Francois Viete
          French adalah matematikiawan besar pada abad ke-16 dengan nama Francois Viete, seringkali dipanggil dengan nama sebutan dalam bahasa latin namanya yaitu Viete. Dia lahir pada tahun 1540 di Fontenay dan meninggal pada tahun 1603 di paris.
            Viete bekerja menulis bilangan Trigonometri, Aljabar dan Geometri. Viete memperoleh lambang untuk  sama fungsinya dengan  untuk , dan kemudian mendapatkan solusi untuk Trigonometri yang khususnya tidak dapat diperkecil lagi dalam pangkat tiga. Kita menulis  kemudian oleh Viete ditulis . Viete juga memenuhi syarat koefisien persamaan polinon untuk membuat persamaan homogen dan sekarang dia menggunakan + dan -, tetapi dia tidak mempunyai simbol untuk persamaan. Demikian dia ingin menulis:

(B 5 in A quad – C plano 2 in A + A cub aequartur D solido)
Catatan bagaimana koefisien C dan D are qualified so as to make each term of the equation three dimensional. Viete mengginakan simbol = diantara banyak keduanya, tidak menunjukan banyaknya persamaan tetapi cukup menunjukan perbedaan diantaranya.
            In De numerosa, Viete memberikan proses yang sistematis, yang mana pada tahun 1680 digunakan, untuk memperkenalkan keberhasilan akar-akar persamaan. Metode menjadi sulit untuk persamaan derajat tinggi pada abad ke-17 matematikiawan membuat “work unfit for a christian”. Mempergunakan persamaan kuadrat.

menurut metode. Kita misalkan   kemudian subtitusikan kepersamaan sebelumnya yaitu k persamaan  :
Ambil  untuk mengganti  diperoleh:
Sekarang setelah diperbaiki maka mendekati, , kita berhitung dengan cara yang sama untuk mendekati lebih baik, , dan so on. Viete menggunakan metode peendekatan akar persamaan pangkat enam. 
            Dengan anumerta viete menggunakan uraian yang berisi beberapa kepentingan teori persamaan. Uraiannya adalah mendirikan secara rapi menurut pemecahan persamaan pangkar tiga , yang mana pangkat tiga dapat direduksi. Mengatur.
Salah satu persamaannya menjadi:
Kuadrat dalam . Demikian kita dapatkan , dan kemudian y dan x. Viete memecahakan pangkat empat sama dengan cara Ferrari’s. Consider the general depressed quartic.

Yang mana boleh ditulis sebagau berikut:
Tambahkan kedua ruas dengan :
Now we choose y so that the right member is a perpect square. The condition for this is:

A cubic in . Such a y may be found and the problem completed by extracting squar roots

8.10 Matematikiawan Lain pada Abad ke-16
            Kita menganggap matematikiawan pada abad ke-16 ini sedikit. Matematikiawan lain pada abad ini yaitu Clavius, Cataldi dan Stevin, serta matematikiawan astronominya adalah Copernicus, Rhaeticus dan Pitiscus.
            Christopher Clavius lahir di Bamberg, Jerman pada tahun 1537 dan meninggal di Roma pada atahun 1612. Dia sekolah di Jerman pada abad ini dia mendirikan sekolah edge of the subject. Dia guru yang cakap dan dia menulis Aritmatika (1583) dan Aljabar (1608) pada bukunya. Pada tahun 1574 dia mengeluarkan of  Euclid’s Element yang berharga untuk its extensive scholia.
            Pietro Antonio Catalgi lahir di Bologna pada tahun 1548, dia adalah guru matematika dan astronomi di Florence, Perugia dan Bologna dan dia meninngal di kota Birth pada atahun 1626. Dia menulis bilangan aritmatika matematika, dan dia penerbit pertama buku Elements.
            Matematikiawan yang paling berpengaruh pada abad ke-16 adalah Simon Stevin (1548-1620). Dia menjadi Quartermaster general tentara belanda. Yang menyemangati astronom matematikiawan yang terkemuka adalah Nicolas Copernicus (1473-1543) di Polandia. Dia pendidikannya di Universitas Cracow dan  astronominya di Padua dan Bologna.
            Rhaeticus adalah orang pertama yang menentukan fungsi trigonometri segitiga siku-siku. Dia juga menerbitkan tabel sinus dandi sempurnakan pada tahun 1593 oleh Bartholomaus Pitiscus (1561-1613). Uraian dia tentang trigonometri sangat memuaskan dan pertama kalinya dia membawa gelar.
            Catatan menarik dimana pekerja matematikiawan pertama masuk di dunia baru diperlihatkan pada tahun 1556 dikota Mexiko, karyanya dijual oleh Juan Diez.

“Menguak” 1/0


Di bawah ini kita akan mencoba “mencari jawaban”  dari 1/0 atau 0^(-1). Sekali lagi saya tegaskan “mencari jawaban” .
Hal ini terinspirasi pasa saat salah seorang guru/dosen saya (pak Dadang), memberikan soal pada mata kuliah kapsel mtk SD. Soalnya adalah :
½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + . . . = . . . . .
 Memang sulit pada waktu itu bagi saya. Lalu, beliau memberikan penyelesaian secara logika dan media konkret yang sederhana dengan mencabik-cabik kertas secara beraturan, 1 dibagi menjadi dua bagian yang sama, lalu salah satu yang setengah dibagi menjadi dua lagi. Lalu, salah satu yang seperempat dibagi menjadi dua lagi, dsb (dan saya bingung, haha dua kali). Jika terus disobek sampai tak hingga, maka saat kita mejumlahkan potongan yang pertama yang terbesar (1/2), sampai potongan terkecil (1/2^n), kertas akan mewakili soal di atas tadi, dan menyem-menyem, diperoleh bahwa  :
½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + . . . = 1,
Sampai di sana ditarik kesimpulan bahwa:
1/a + 1/a^2 + 1/a^3 + 1/a^4 + 1/a^5 + . . . = 1/(a - 1), a > 1(?).
Tapi, setelah saya belajar geometri dasar, TB, dkk, yang banyak menuntut pembuktian, lantas saya coba membuktikan (lebih tepatnya saya melakukan ‘penemuan kembali’) rumus di atas sebagai berikut.
1/a + 1/a^2 + 1/a^3 + 1/a^4 + 1/a^5 + . . . = m,                   kita misalkan hasilnya dengan m,
1/a + 1/a^2 + 1/a^3 + 1/a^4 + 1/a^5 + . . . = m,                   lalu kesua ruas kita kalikan dengan a, menjadi,
1 + 1/a + 1/a^2 + 1/a^3 + 1/a^4 + . . . = ma,                          karena 1/a + 1/a^2 + 1/a^3 + 1/a^4 +  . . . = m, maka :
1 + m = ma,                                                                                         kita tambahkan kedua ruas dengan (-m), sehingga
1 = ma – m,                                                                                         kita gunakan sifat distributif, a(b + c) = ab + ac, menjadi,
1 = m (a – 1),                                                                                      kita kalikan kedua ruas dengan 1/(a – 1), menjadi,
m = 1/(a – 1). (terbukti)
kita belum membatasi ‘a’, lalu saya coba “melanggar” aturan dasar matematika yang melarang mengambil penyebut nol – toh dalam buku kalkulus terjemahan edisi 5 jilid 1 bab 1 sub 1.1 hal 2, disebutkan bahwa “Marilah kita bersepakat untuk seterusnya membuang pembagian oleh nol dari buku ini”, walupun hal ini tidak menjadi dasar yang kuat disini -, kita peroleh a = 1, maka,
1/a + 1/a^2 + 1/a^3 + 1/a^4 + 1/a^5 + . . . = 1/(a – 1) menjadi,
1/1 + 1/1^2 + 1/1^3 + 1/1^4 + 1/1^5 + . . . = 1/(1 – 1),
1 + 1 + 1 + 1 + 1+ . . . = 1/0,
Tidak diragukan lagi, jika saya bertanya “ada berapa suku di ruas/pihak kanan ?”, saya yakin anda akan menjawab, sebanyak-banyaknya atau “tak hingga”(unlimited). Kita pandang ruas kanan sebagai penjumlahan berulang angka satu sebanyak tak hingga. Kita tahu bahwa definisi perkalian adalah penjumlahan bilangan sebanyak pengali (atau bagaimanapun redaksinya). Kita peroleh bahwa,
1 + 1 + 1 + 1 + 1+ . . . = ∞.
϶, 1/0 = ∞. Ada yang keberatan? Minta kritik n komentarny ya! Mohon diluruskan!!

NB : Anda akan menemukan keunikan lain saat mengambil nilai a=0 (bahkan JIKA BENAR, Kita berhasil memecahkan rahasia dibalik bilangan imajiner, PRIKITIEW), dan Anda akan menemukan hal yang tidak dimengerti saat Anda mengambil a=(-1) atau mungkin bilangan negatif lain. Silakan cari, lalu kita diskusikan kembali!! Saya menanti jawaban Anda. Mungkin kita memiliki jawaban yang berbeda.

DARI BENCI JADI CINTA MATEMATIKA

           Jika mendengar kata MATEMATIKA, orang akan langsung terbayang rumus-rumus trigonometri, logaritma atau berbagai perhitungan rumit lainnya. Memang, selama ini image MATEMATIKA selalu dihubungkan dengan pelajaran yang rumit, memusingkan dan membosankan. Sehingga mayoritas siswa pun sangat “membenci” MATEMATIKA. Jika hal ini berlangsung terus-menerus maka akan menimulkan efek yang tidak baik terhadap perkembangan matematika dan siswa itu sendiri. Karena siswa akn menjadi malas mempelajari MATEMATIKA.
            Sebenarnya, terdapat berbagai cara untuk mengubah image MATEMATIKA menjadi pelajaran yang diCINTAi siswa. Kita hanya perlu menarik minat siswa untuk mengetahui MATEMATIKA lebih dalam. Ini memang bukanlah hal yang mudah, namun tidak mustahil untuk dilakukan. Ada beberapa langkah yang yang bisa kita lakukan, antara lain:
  •      Menggunakan alat peraga atau media yang sesuai dengan materi pembahasan
Media ataupun alat peraga akan sangat membantu pembelajaran karena dengan melihat “cara kerja” rumus-rumus secara langsung dengan alat peraga, siswa akan lebih lama menempel di otak mereka daripada hanya dengan mendengarkan “ceramah ” sang guru. Karena menurut beberapa ahli, seseorang akan mengingat  40% lebih banyak sesuatu yang ia lihat dibandingkan yang ia dengar.”I hear and I forget, I see and I remember”
  •     Membentuk kelompok belajar dengan kemampuan yang merata
Bentuklah kelompok-kelompokyang terdiri dari tiga sampai empat orang yang masing-masing anggotanya memiliki tingkat kecerdasan yang berbeda. Hal ini harus dilakukan agar siswa yang kemampuannya lebih tinggi akan bisa membantu menjelaskan materi kepada yang belum paham. Selain itu, siswa yang “kurang” tersebut akan termotivasi melihat rekan sekelompoknya sehingga ia akan tertantang untuk menjadi lebih baik.

  •     Memancing dan memfasilitasi siswa untuk menemukan rumusnya sendiri
Dalam mengajar, kita perlu mengajak siswa untuk “menemukan” sendiri rumus-rumus MATEMATIKA menggunakan rumus dasar yang ia ketahui sebelumnya. Misalnya dalam materi perkalian sinus dan cosinus, siswa bisa diarahkan untuk mencari rumus tersebut dengan menggunaka rumus penjumlahan dan selisih trigonometry. Dengan demikian, siswa akan lebih mengingatnya karena dia sendirilah yang “menyusun”nya . “I do and I understand”
  •    Menghubungkan materi yang diperolah dengan kehidupan sehari-hari
“Apa sih gunanya MATEMATIKA?”. Pertanyaan itu seringkali terlontar dari mulut siswa. Mereka malas belajar matematika karena menganggap matematika itu TIDAK BERGUNA. Sebagai pengajar, kita perlu mengubah paradigma ini. Kita bisa memberi contoh betapa bergunanya matematika untuk pemrogaman aplikasi komputer, merencanakan pengeluaran negara, membangun bangunan-bangunan bersejarah (seperti Menara Eiffell dan piramida Mesir) bahkan untuk menhitung jarak bumi ke planet-planet lain di galaksi ini. Dengan memberikan contoh langsung mungkin akan lebih mengena pada siswa.
  •     Sisipi pembelajaran dengan materi tambahan tentang keajaiban MATEMATIKA
Untuk menghindari kejenuhan siswa, sisipilah pembelajaran denga pengetahuan tambahan tentang keajaiban  MATEMATIKA. Selain itu, hal ini juga bisa menambah ketertarikan dan motivasi siswa untuk mengkaji MATEMATIKA lebih mendalam. Mereka akan bertanya-tanya, “kog bisa gitu?, darimana asalnya sih?”, dan pertanyaan-pertanyaan lain yang akan menuntun mereka untuk menemukan rahasia-rahasia MATEMATIKA yang lainnya. Setelah siswa tahu keajaiban MATEMATIKA, ia akan menunjukkannya kepada keluarga atau pun teman-teman mereka. Dengan begitu, mereka akan menjadi lebih paham dan merasa memiliki keahlian dalam MATEMATIKA lalu lama-kelamaan akan menyukainya.

  •     5S(Senyum, Sapa, Salam, Sopan, Sabar, Semangat)
Guru MATEMATIKA biasanya dicap sebagai guru KILLER karena sering marah-marah jika siswanya tidak bisa mengerjakan soal dengan benar. Bagaimana mungkin siswa bisa menerima pembelajaran dengan baik jika si siswa ketakutan melihat guru MATEMATIKAnya.  Mulailah pembelajaran dengan tersenyum semanis mungkin agar mood siswa juga menjadi sumringah. Sapalah siswa kita dengan salam yang ramah dan sopan.
Bersabarlah menghadapi siswa yang “lambat” memahami materi. Bimbinglah mereka dengan penuh kesabaran agar mereka tidak mudah menyerah. Jangan marahi siswa jika ia tidak mengerjakan soal dengan benar karena hal itu hanya akan membuat siswa membenci MATEMATIKA sehingga ia tidak akan berusaha untuk memahaminya.
Sebisa mungkin, usahakan agar kita selalu bersemangat dalam mengajarkan MATEMATIKA. Seperti pepatah yang mengatakan “guru kencing berdiri, murid kencing lari”. Jika kita tidak bersemangat maka siswa pun akan lebih tidak bersemangat lagi. Dengan semangat, kita akan menyebarkan energi positif kepada siswa kita untuk lebih bersemagat lagi mempelajari MATEMATIKA. Semangati mereka untuk menjadi lebih baik dan lebih baik lagi.
            Sebagai pengajar kita harus menanamkan pada diri kita Jangan pernah menilai keberhasilan pembelajaran hanya dengan nilai semata. Jangan menyerah untuk membuat siswa menyukai MATEMATIKA karena itulah kunci agar siswa lebih memahami esensi MATEMATIKA dan bahkan mereka akan tertarik untuk mengkaji dan mengembangkan MATEMATIKA lebih jauh lagi. Buatkah MATEMATIKA menjadi pelajaran yang menyenangkan, bukan menyeramkan.

SALAM CINTA MATEMATIKA